1、10.2 排列巩固夯实基础 一、自主梳理 1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Amn表示. 3.排列数公式:Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=. 说明:(1)n!=n(n-1)(n-2)321,叫做n的阶乘; (2)规定0!=1; (3)当m=n时的排列叫做全排列,全排列数Ann=n!. 二、点击双基1.(南京第一次质量检测)5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数
2、为( )A.18 B.24 C.36 D.48解析:甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素,共三个元素排列,不要忘记甲、乙两人之间的排列,C13A22A33=36,应选C.答案:C2.(宣城高三调研试卷)有6名男同学和4名女同学,自左至右站成一排,其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法有( )A.A66A44种 B.C14A36A66种C.C14C36A66种 D.A66A36种解析:先从4个女生中取一人站在最右端有C14种方法,把六个男生进行全排列,将3个女生插入6个男生的六个空中,有A66A36种,答案选B.答案:B3.(承德实验高中模拟)五人排成一排,甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不
3、同排法数是( )A.24 B.36 C.48 D.60解析:间接法:A55-2A22A44+A22A33=36.答案:B4.(全国高考卷)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_个.解析:本题注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0或5.用间接法, 所有4位数有A15A35=300个, 末位为0时有A35=60个, 末位为5时有A14A24=412=48个, 有300-60-48=192个.答案:1925.(辽宁高考)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有_个
4、.(用数字作答)解析:A33A24A22A22A22=576.答案:576诱思实例点拨【例1】公共汽车上有4位乘客,其中任何两人都不在同一车站下车,汽车沿除停靠6个站,那么这4位乘客不同的下车方式共有( )A.15种 B.24种 C.360种 D.480种剖析:把公共汽车沿途要经过的6个停靠站依次编号,记为1号,2号,6号,那么4位乘客的下车方式即为从这6个号码中选出4个号码与4位乘客对应.至此,该问题已经很明确,即从6个号码中选出4个,且按照一定的次序排成一列,共有几种方法.也就是从6个不同的元素中取出4个元素的排列数.解:将公共汽车沿途经过的6个停靠站依次编号,记为1,2,3,4,5,6,
5、则4位乘客不同的下车方式总数即为从这6个号码中选出4个的排列数A46=6543=360.讲评:要掌握几种不同情况下的典型的排列问题,遇到其他问题要善于联系与转化.【例2】7个人排成一排,按下列要求有多少种排法?(1)其中甲不站排头,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、丙3人必须相邻;(3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻;(4)其中甲、乙中间有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列.剖析:对于第(1)小题,甲不站排头,那么甲站哪个位置呢?从正面考虑,进行分类;又甲不站排头,乙不站排尾,我们可先考虑它的反面:甲站排头,或乙站排尾,采用“间接法”,从两个不同的角度分析.解:(1)(直接法)如果
6、甲排尾,其余6人有A66种排法,如果甲站中间的5个位置的一个,而乙不站排尾,则有A15A15A55种排法,故共有排法A66+A15A15A55=3 720(种). (间接法)7个人排成一排有A77种,其中甲在排头有A66种,乙在排尾有A66种,甲排在头且乙排在尾共有A55种,故共有排法A77-A66-A66+A55=3 720种. (2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有A55种,然后甲、乙、丙内部再作全排列有A33种,故有不同的排法A55A33=720种. (3)(插入法)先排甲、乙、丙外的4人有A44种,这四人之间及两端留出五个空位,然后把甲、乙、丙插入到五
7、个空位中去有A35种,故共有A44A35=1 440种排法. (4)甲、乙两人有A22种排法,现从剩下的五人中选一个插入甲、乙中间,有A15种,然后再将这三人看作一个元素,和其他四个元素作全排列,有A55种,故所求有A22A15A55=1 200种. (5)七个人的全排列为A77种,其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排法有A33种,但只有一种顺序符合要求,故符合要求的不同排法有=840种.讲评:对于有限制条件的排列问题,按元素的性质分类,按事件发生的连续过程分步,是处理问题的基本思想.链接提示 如何处理附有限制条件的排列问题? (1)对附有限制条件的排列,思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限
8、制的位置. (2)对下列附有限制条件的排列,要掌握基本的思考方法: 元素在某一位置或元素不在某一位置; 元素相邻捆绑法,即把相邻元素看成一个元素; 元素不相邻插空法; 比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位. (3)对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法直接法;同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向间接法.【例3】一条长椅上有七个坐位,四人坐,要求三个空位中,有两个空位相邻,另一个空位与这两个相邻空位不相邻,共有几种坐法?剖析:把两个相邻空位看成一个整体,另一个空位与这个整体不相邻,则是用四个人把两个元素隔开的典型问题.基于这种考虑,就可先让四人坐在四个位置上,再让后两个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)选择被四个人造成的五个“空隙”中的两个.解:共有坐法A44A25=480种.讲评:对不相邻问题采用插空法最有效.