1、4.2 平面向量的应用考情动态分析1.本课时主要知识点有:线段的定比分点坐标公式和线段中点坐标公式、平移公式、解三角形.重要公式有:x=及a2=b2+c2-2bccosA.2.应注意的问题:求分点坐标时,要正确求出的值;“已知两边和其中一边的对角”,用正弦定理求解另一边的对角时，解的个数为一或二都有可能；用平移公式要分清平移前后的点的坐标.a=(h,k)为平移向量,当h0时,表示点向右平移h个单位,k0时,表示点向上平移k个单位.考题名师诠释【例1】以O为原点，所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设=1，点F的坐标为(t，0)，t3，+)，点G的坐标为(x0，y0).(1)求x0关于t
2、的函数x0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设OFG的面积S=t，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当|取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，92)，C、D是椭圆上的两点，且=(1)，求实数的取值范围.解：(1)由题意，=(x0-t，y0)，=(t，0)， 则=t(x0-t)=1，x0=f(t)=t+. 设3t1t2，则f(t2)-f(t1)=(t2+)-(t1+)=.t2-t10，t1t2-10，t1t20，f(t2)-f(t1)0，f(t2)f(t1)，f(t)在3，+)上单调递增.(2)由S=|y0|=t|y0|=t，
3、得y0=，点G的坐标为(t+，)，|2=(t+)2+.f(t)在3，+上单调递增，当t=3时，|取得最小值，此时F、G的坐标分别是(3，0)、(，). 由题意设椭圆方程为=1，由点G在椭圆上得=1，解得b2=9，所求椭圆方程为=1.(3)方法1：设C、D的坐标分别为(x，y)、(m，n)，则=(x，y-)，=(m，n-). 由=，得(x，y-)=(m，n-)，x=m，y=n-+.C、D在椭圆上，=1，=1，消去m得 n=.又|n|3，|3，解得5，实数的取值范围是，1)(1，5.方法2：记点A、B的坐标分别为(0，3)、(0，-3)，过点A、B分别作y轴的垂线，交直线PC于点M、N. 若|，则
4、|，|，1=5，则15，1； 若|，同理可得1=5，则15. 综上，实数的取值范围是，1)(1，5.点评：解析几何中有关直线的方向、线段的定比分点、直线的垂直和平行的问题均可由平面向量的形式来表示.【例2】如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m的线段,其端点A、B分别在x、y轴上滑动,设点M满足=(是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E、F,使得|、|、|成等差数列?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.解：设点M的坐标为(x,y),A(a,0)、B(0,b),则a2+b2=m2. 由=，得(1+)2x2+()2y2=m2, 即=1. 由0且1，知点M的轨迹为椭圆. 假如存在
5、两点E、F,使|、|、|成等差数列,则2|=|+|.因m、为定值,故2|=是定值,即|+|为定值.故E、F应为椭圆的焦点,且为长轴长,于是,即01.当01时,M的轨迹是椭圆,半长轴长为,同时由假设知半长轴又为,矛盾,故此时不存在定点E、F.【例3】 已知OPQ的面积为S，且=1，=m，S=m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m(1，2)时，求|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且=1，=2请找出1、2之间的关系，并证明你的结论.分析：(1)先建立适当的坐标系，建立|关于m的函数关系
6、式，再求|最大值m的值，从而求椭圆方程.(2)可先由特殊情况(如k=0)时寻找1、2的关系，再证过点p的直线斜率为k时，都有1、2满足k=0时1、2的关系式.解：(1)以O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则p(m，0)，设Q(x0、y0)，则=(x0-m，y0).=1，S=m，mx0-m2=1，xO=m+. 又m|y0|=m，|y0|=，=. 设t=m2+,m(1，2)，t=2m-0，t在(1，2)上为增函数，当m=2时t最大，即|最大. 此时P(2，0)，另一焦点P(-2，0)，椭圆方程为=1. 当k=0时，M(a，0)，N(-a，0),1=,2=-.1+2=0.(2)法一：当k0
7、时设直线l：y=k(x-2)， 由消去y得=1， 即(3+5k2)x2-20k2x+20k2-30=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.=1,2-x1=1(x2-2). =2，-5-x1=2(x2+5).k0，x22，x2-5.1=，2=.1+2=+20=0.法二：P为椭圆的右焦点，m为右准线，如图. 则MP=MM，NP=NN，=1，1=.=2，2=-=-，1+2=0.评述：由a=b得|=，的符号取决于a与b的方向.对于过焦点的直线与圆锥曲线相交时.若涉及求焦点到曲线上的点的距离问题时，用第二定义比较简单.【例4】设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，求证：AC过原点O.分析：证明直线AC经过点O，只需证明即可.证明：设直线AB的方程为x=ky+，与抛物线联立得y2-2pky-p2=0. 设A(,y1)、B(,y2),则C(-,y2),=(-,y2)=(,y1). 由得y1y2=-p2,所以-y1-y2=0.所以AC经过原点O.说明：本题的解法很多，下面用向量a、b共线的充要条件a=b来证明. 由AB过焦点F，得+=， 所以=,=. (*) 因为点C在抛物线的准线上，BCx轴，所以|=|,=+=+= +,=+.将、代入(*)式得+=(+),化简得=,所以，即直线AC过原点O.