1、11.2弧度制 教材研读预习课本P69，思考以下问题11弧度的角是如何定义的？2如何求角的弧度数？3如何进行弧度与角度的换算？4以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？要点梳理1角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写(3)角的弧度数的求法正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值|.2角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度3
2、602_rad2 rad360180_rad rad1801 rad0.01745 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数3.弧度制下的弧长与扇形面积公式 公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制lS弧度制lr (02)Slrr2 (02)自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)11弧度1()2每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()3用弧度制度量角，与圆的半径长短有关()答案1.2.3.思考：角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？提示：利用1 rad和1 rad进行弧度与角度的换算 将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).思路导引角度
3、与弧度的互化关键抓住1 rad和1 rad.解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn.【温馨提示】(1)以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写(2)以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟踪训练将下列各角度与弧度互化(1)；(2)；(3)15730.解(1) rad18075；(2) rad180
4、210；(3)15730157.5157.5 rad rad思考：在同一个表达式中，能不能角度制和弧度制同时出现？提示：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如2k30，kZ是不正确的写法，应写成2k，kZ. 已知角2010.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间5，0)上找出与终边相同的角思路导引利用终边相同的角的集合表示解(1)2010201052，又，与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角可以写成2k(kZ)，又50，当k3时，；当k2时，；当k1时，.用弧度制来表示终边
5、相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的集合用弧度可表示为|2k，kZ，这里应为弧度数跟踪训练已知1690.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使与终边相同，且(4，4)解(1)16901440250436025042.(2)与终边相同，2k(kZ)又(4，4)，42k4，k(kZ)k2，1,0,1.的值是，.思考：扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与弧长及半径的大小无关 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60，求扇形的弧长和面积思路导引利用扇形的弧长公式lr及
6、面积公式Slrr2求解解由于60，所以扇形的弧长为10，扇形的面积为102.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解【温馨提示】运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度跟踪训练(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_ cm2.(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？解析(1)设扇形的
7、半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Slr424 cm2.(2)设扇形的弧长为l，由题意得2R2Rl，所以l2(1)R，所以扇形的圆心角是2(1)，扇形的面积是lR(1)R2.答案(1)4(2)2(1)(1)R2课堂归纳小结1本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解2本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)180；(2)1 rad；(3)1 rad.3本节课要重点掌握以下规律方法(1)角度与弧度的互化，见典例1；(2)用弧度制表示终边相同的角，见典例2
8、；(3)扇形的弧长公式及面积公式的应用，见典例3.4本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用，见典例211920转化的弧度为()A.B.C. D.解析由于19201920，所以选D.答案D2转化为角度是()A300 B600C900 D1200解析由于600，所以选B.答案B3与终边相同的角的集合是()A.B.C.D.解析由于46，所以与终边相同，故选D.答案D4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4解析由于扇形周长为6，所以l2r6又由于面积为2，所以lr2由解得或所以扇形的圆心角的弧度数1或4答案C5若扇形的半径
9、为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为_解析由于扇形面积Sr2312，故扇形的面积为.答案课内拓展课外阅读1用弧度制判断角，n所在象限已知是第几象限角，要确定，n所在象限，常用方法有两种：(1)分类讨论：先由的范围确定，n的范围，然后对n的取值进行分类讨论，从而确定，n所在象限(2)几何法：先将各象限分成n等份，然后从x轴正半轴起，按逆时针方向，依次将各区域标号一、二、三、四、一、二，则原来在第几象限，终边就在对应的象限 若为第二象限，则2，为第几象限角？解是第二象限角，k2k2(kZ)，k422k4，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴非正半轴上是第二象限角，k2k2，kZkk，kZ解法一
10、：当k3m(mZ)时m2m2，mZ即为第一象限角，当k3m1(mZ)时m2m2，mZ即为第二象限角当k3m2(mZ)时，m2m2，mZ即为第四象限角综上可得为第一、第二或第四象限角解法二：如图所示标号为“二”的即为所在象限故为第一、第二或第四象限角点评解法一运用了分类讨论思想，是处理此类问题的基本思想方法；解法二运用的数形结合思想，使问题变得比较简单2有关扇形的最值问题解决扇形的周长或面积的最值问题关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为该变量的函数问题，再求函数的最值即可 扇形OAB的周长为8 cm，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解设扇形所在圆的半径为r cm，则扇形的圆心角于是Sr24rr2(r2)24故当r2时，S取得最大值此时圆心角2，弦长AB22sin14sin1(cm)即扇形面积取得最大值时圆心角为2，弦长AB等于4sin1 cm.点评当扇形周长一定，求其面积的最大值时，一般求法是把面积S转化为半径r的函数，然后求得所需要的量