1、第3课时 直线的一般式方程必备知识自主学习 直线的一般式方程(1)方程：关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)本质：直线的一般式方程是直线的定量刻画，直线是二元一次方程的几何意义(3)应用：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式，用一般式表示直线方程【思考】(1)方程yy00是二元一次方程吗？提示：是，是A为0的二元一次方程(2)直线与二元一次方程的关系是什么？提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)可表示平
2、面内的任何一条直线()(2)当 C0 时，方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)表示的直线过原点()(3)当 B0，A0 时，方程 AxByC0 表示的直线与 y 轴平行()(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()(5)若方程 AxByC0 表示直线，则 AB0.()提示：(1).二元一次方程能表示所有直线(2).C0 时，点(0，0)满足方程 AxBy0，说明直线过原点(3).当 C0 时，直线与 y 轴重合(4).当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式(5).方程 AxByC0 表示直线的条件是 A，B 不同时为 0，若 A0，B0，或 A0，B0 时，方
3、程也表示直线2直线2xy30 的斜率 k()A2 B2 C12 D12【解析】选 A.直线方程化为斜截式为 y2x3，所以斜率 k2.3若直线 mx3y50 经过连接点 A(1，2)，B(3，4)的线段的中点，则 m_.【解析】线段 AB 的中点坐标为(1，1)，代入直线方程得 m350，所以 m2.答案：24(教材二次开发：例题改编)已知 ab0，bc0，则直线 axbyc 通过第_象限【解析】直线 axbyc，即 yab xcb，因为 ab0，bc0，所以斜率 kab 0，直线在 y 轴上的截距cb 0.故直线过第一、三、四象限答案：一、三、四关键能力合作学习类型一 直线的一般式方程(数学
4、运算)1下列直线中，斜率为43，且不经过第一象限的是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y4202直线 3 x5y90 在 x 轴上的截距等于()A 3 B5C95 D3 33根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是12，经过点 A(8，2)；(2)经过点 B(4，2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32，3；(4)经过两点 P1(3，2)，P2(5，4).【解析】1.选 B.将一般式化为斜截式，斜率为43 的有 B、C 两项又 y43 x14 过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有 B 项符合题意2选 D.令 y0，可得
5、 x3 3，所以直线在 x 轴上的截距等于3 3.3(1)由点斜式得 y(2)12(x8)，即 x2y40.(2)由斜截式得 y2，即 y20.(3)由截距式得x32 y3 1，即 2xy30.(4)由两点式得 y（2）4（2）x353，即 xy10.求直线的一般式方程的方法1当 A0 时，方程可化为 xBA yCA 0，只需求BA，CA 的值；若 B0，则方程化为AB xyCB 0，只需确定AB，CB 的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式提醒：在利用直线方程的四种特殊形
6、式时，一定要注意其适用的前提条件【补偿训练】直线x3 y4 1，化成一般式方程为()Ay43 x4 By43(x3)C4x3y120 D4x3y12【解析】选 C.直线x3 y4 1 化成一般式方程为 4x3y120.类型二 含参数的直线的一般式方程(数学运算)【典例】(1)设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR).若直线 l 不过第三象限，则 a 的取值范围为_.(2)设直线 l 的方程为 2x(k3)y2k60(k3)，根据下列条件分别确定 k 的值：直线 l 的斜率为1；直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距之和等于 0.【思路导引】(1)由方程获得斜率和截距后，通过限制斜率和截距的
7、符号，即可限制直线的位置(2)分别将直线 l 的方程化为斜截式和截距式求解【解析】(1)把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)xa2，因为直线 l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零即1a0，a20，解得 a1.所以 a 的取值范围为1，).答案：1，)(2)因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可化为 y 2k3 x2.由题意得 2k3 1，解得 k5.直线 l 的方程可化为 xk3 y2 1.由题意得 k320，解得 k1.1典例(1)中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变，则 a 的取值范围为_.【解析】(1)当 a10
8、，即 a1 时，直线为 x3，该直线不过第三象限，符合(2)当 a10，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y 11a x2a1a，因为直线 l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零即11a02a1a0，解得 a1.由(1)(2)可知 a1.答案：a12若典例(1)中的方程不变，将“直线 l 不过第三象限”改为“直线 l 不过第二象限”，则 a 的取值范围为_.【解析】把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)xa2，因为直线 l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴上的截距小于等于零即1a0，a20，解得 a2.答案：a2 含参数的一般式的
9、处理方法(1)若方程 AxByC0 表示直线，则需满足 A，B 不同时为 0.(2)令 x0 可得在 y 轴上的截距；令 y0 可得在 x 轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式(3)解分式方程要注意验根1若直线(m2)x(m22m3)y2m 在 x 轴上的截距为 3，则实数 m 的值为()A65 B6 C65 D6【解析】选 B.依题意知直线过点(3，0)，代入直线方程得 3(m2)2m，解得 m6.2直线(2a27a3)x(a29)y3a20 的倾斜角为 45，则实数 a_.【解析】依题意可知 ktan 451，所以2a27a3a291，且 a290.解得 a23 或 a3(舍
10、去).答案：23课堂检测素养达标1直线 3x4y50 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为()A43，53B43，53C34，54 D34，54【解析】选 C.直线 3x4y50 可化为 y34 x54.所以直线 3x4y50 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为34，54.2若方程(m2m)x(2m2m3)y4m20 表示一条直线，则实数 m 满足()Am0 Bm32Cm1 Dm32，m0，m1【解析】选 C.根据题意，若方程(m2m)x(2m2m3)y4m20 表示一条直线，则 m2m0 与 2m2m30 不同时成立，由 m2m0 可得 m0 或 1，由 2m2m30 得 m1 或32；故 m
11、1.3(教材二次开发：练习改编)已知直线 mxny1 的斜率为43，且在 y 轴上的截距为13，则 m，n 的值分别为()A4 和 3 B4 和 3C4 和3 D4 和3【解析】选 C.由题意得 n0，于是直线可化为 ymn x1n.由mn 43，1n 13，得 m4，n3.4若直线 mxy(2m1)0 恒过定点，则此定点是_.【解析】直线方程可化为 y1m(x2).由直线的点斜式可知直线过定点(2，1).答案：(2，1)5已知直线 l 的斜率是直线 2x3y120 的斜率的12，l 在 y 轴上的截距是直线 2x3y120 在 y 轴上的截距的 2 倍，则直线 l 的方程为_.【解析】由 2x3y120 知，斜率为23，在 y 轴上的截距为 4.根据题意，直线 l 的斜率为13，在 y 轴上的截距为 8，所以直线 l 的方程为 x3y240.答案：x3y240