1、第3讲 平面向量 第二编 讲专题专题二三角函数、解三角形与平面向量考情研析1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档 2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.1 核心知识回顾 PART ONE 1.平面向量的数量积(1)若 a，b 为非零向量，夹角为，则 ab.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab.2两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab01 ab(b0).(2)ab03
2、 ab0.01|a|b|cos02 x1x2y1y202 x1y2x2y1004 x1x2y1y203利用数量积求长度(1)若 a(x，y)，则|a|.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.4利用数量积求夹角若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos.01aa02x2y203x2x12y2y1201 ab|a|b|02x1x2y1y2x21y21 x22y225三角形“四心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则(1)O 为ABC 的外心 .(2)O 为ABC 的重心 .(3)O
3、为ABC 的垂心 .(4)O 为ABC 的内心 .01|OA|OB|OC|a2sinA02 OA OB OC 003 OA OB OB OC OC OA04 aOA bOB cOC 02 热点考向探究 PART TWO 考向 1 平面向量的概念及运算例 1(1)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，若 manb 与 2ab 共线(其中m，nR 且 n0)，则mn()A2 B2 C12D.12答案 A解析 因为 manb(m2n,2m3n)，2ab(0,7)，manb 与 2ab共线，所以 m2n0，即mn2.故选 A.(2)(2019云南第二次统考)已知点 O(0,0)，A(1,3)，B(2，
4、4)，OP OAmAB.若点 P 在 y 轴上，则实数 m 的值为()A.13 B.14 C.15 D.16答案 A解析 由题意，可得OA(1,3)，AB(3，7)，所以OP OA mAB(3m1,37m)，点 P 在 y 轴上，即 3m10，m13.故选 A.(3)(2019贵州南白中学(遵义县一中)高一联考)已知 D 是ABC 的边 AB上的中点，则向量CD 等于()A.BC12BABBC12BAC.BC12BADBC12BA答案 D解析 D 是ABC 的边 AB 的中点，CD 12(CACB)，CABABC，CD 12(BABCBC)BC12BA.故选 D.平面向量的线性运算有几何运算和
5、坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则1(2019四川巴中高三诊断)向量AB(2,3)，AC(4,7)，则BC()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)解析 BCACAB(2,4)故选 B.答案 B2(2019四川宜宾高三二诊)在平行四边形 ABCD 中，M 是 DC 的中点，向量DN 2NB，设ABa，AD b，则MN()A.16a23bB16a13bC.16a76bD.16a13b答案 A解析 根据题意画图，如图所示，则DM 12DC 12AB12
6、a，DN 23DB 23(ABAD)23AB23AD 23a23b，MN DN DM 23a23b12a16a23b，故选 A.3(2019陕西高三一模)如图，在OACB 中，E 是 AC 的中点，F 是 BC上的一点，且 BC3BF，若OC mOE nOF，其中 m，nR，则 mn 的值为()A1 B.32 C.75 D.73答案 C解析 在平行四边形中OA BC，OB AC，OC OA OB，因为 E 是AC 的中点，所以AE12AC12OB，所以OE OA AEOA 12OB，因为 BC3BF，所以BF13BC13OA，所以OF OB BFOB 13OA，因为OC mOEnOF，所以OC
7、 m13n OA 12mn OB，在OACB 中，OC OA OB，所以m13n1，12mn1，解得m45，n35，所以 mn75.故选 C.考向 2 平面向量的数量积例 2(1)(2019辽宁鞍山一中三模)设 a，b 是夹角为 60的单位向量，则2ab 和 3a2b 的夹角为()A30 B60 C120 D150答案 B解析 由题意，因为 a，b 是夹角为 60的单位向量，ab|a|b|cos6012，则(2ab)(3a2b)6a22b2ab621272，|2a b|2ab2 4a24abb2 421 7，|3a 2b|3a2b2 9a212ab4b2912124 136 7，设 2ab 和
8、 3a2b 的夹角为，则cos2ab3a2b|2ab|3a2b|727 712，即 60.故选 B.(2)如图，在ABC 中，ABBC4，ABC30，AD 是 BC 边上的高，则AD AC()A0 B4C8 D4答案 B解析 因为 ABBC4，ABC30，AD 是 BC 边上的高，所以 AD4sin302，所以AD ACAD(ABBC)AD ABAD BCAD AB24124.故选 B.(3)(2019安徽黄山高三二模)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|2，且 a(a2b)，则 b 在 a 方向上的投影为()A1 B 2C.2D1答案 D解析 因为 a(a2b)，所以 a(a2b)0，42
9、ab0，ab2，因此 b 在 a 方向上的投影为ab|a|1.选 D.(1)向量数量积有两种不同形式的计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos；二是坐标公式 abx1x2y1y2.(2)用数量积求长度的方法：|a|aa；|ab|a22abb2；若 a(x，y)，则|a|x2y2.(3)用数量积公式求夹角：cos ab|a|b|.1已知向量 a 与 b 的夹角为 30，且|a|2，|2ab|2，则|b|()A2 3B.3C.2D3 2答案 A解析 ab|a|b|cos30 3|b|，|2ab|24a24abb2164 3|b|b|24，|b|2 3.故选 A.2(2019贵州省南白中学(遵义县
10、一中)高二联考)已知|AB|1，|BC|2，若ABBC0，AD DC 0，则|BD|的最大值为()A.2 55B2 C.5D2 5答案 C解析 由题意可知，ABBC，CDAD，故四边形 ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为 AC，由勾股定理可得AC AB2BC2 5，因为 BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD|的最大值为 5.故选 C.3如图，在ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB1，AC4，AB，AC60，则|OA|_.答案 212解析 因为AB，AC60，所以ABAC|AB|AC|cos6014122.又AO 12(ABAC)，所以AO 214(ABAC)214(A
11、B 22ABACAC 2)，即AO214(1416)214，所以|OA|212.考向 3 平面向量与三角函数例 3(1)(2019贵州遵义航天高级中学四模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B4，cosA35，BABC28，则 b 的值为()A3 B.52C4 D5答案 D解析 由题意可知，BABC28，ac28 2，在ABC 中，cosA35，sinA 1cos2A45，sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB7 210，由正弦定理可得，asinA bsinB csinC，即a45 b22 c7 210，a4 25 b，c75b，代入 ac2
12、8 2中，得4 25 b 75b 28 2，得 b225，b5.故选 D.(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 m2cos6A，cos2Acos2B，n1，cos6A，且 mn.求角 B 的值；若ABC 为锐角三角形，且 A4，外接圆半径 R2，求ABC 的周长解 由 mn，得 cos2Acos2B2cos6A cos6A，即 2sin2B2sin2A234cos2A14sin2A，化简得 sinB 32，故 B3或23.易知 B3，则由 A4，得 C(AB)512.由正弦定理 asinA bsinB csinC2R，得 a4sin42 2，b4sin32 3，c
13、4sin5124sin46 422 32 12 22 6 2，所以ABC 的周长为 62 33 2.平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件，通常利用向量的平行与垂直进行转化1(2019安徽宣城二调)在直角三角形 ABC 中，A90，AB2，AC4，P 在ABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则AP(PBPC)的最大值为()A.258B.52C.254D.252答案 B解析 以 A 为坐标原点，以AB，AC方向分别为 x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则 B(2,0)，C(0,4)，中点 D(1,2)
14、，设 P(x,2x)，所以AP(x,2x)，PD(1x,22x)，AP(PB PC)AP(2PD)2x(1x)2x(22x)10(x2x)，当 x12时，AP(PBPC)的最大值为52.故选 B.2(2019贵州南白中学(遵义县一中)高一下学期第一次联考)已知在ABC 中，C2A，cosA34，且 2BACB27.(1)求 cosB 的值；(2)求ABC 的周长解(1)C2A，cosCcos2A2cos2A118，sinC3 78，sinA 74，cosBcos(AC)sinAsinCcosAcosC 916.(2)ABsinC BCsinA，AB32BC，2BACB27，cosB 916，B
15、CAB24，BC4，AB6，AC BC2AB22BCABcosB1636246 9165，ABC 的周长为 65415.3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1.(2019山西吕梁模拟)如图，|OA|2，|OB|2，|OC|4，OA 与OB 的夹角为 135，若OC OA 4OB，则()A1 B2C3 D4答案 B解析|OA|2，|OB|2，|OC|4，OA 与OB 的夹角为 135，OA OB2 2 22 2，若OC OA 4OB，则OC 22OA 216OB 28OA OB，16421628(2)，2，故选 B.2(2019厦门模拟)已知ABC 是正三角形，O 是ABC 的中心，
16、D 和 E分别为边 AB 和 AC 的中点，若OA xOD yOE，则 xy()A4 B4 C2 D2答案 B解析 O 是ABC 的中心，D 和 E 分别是边 AB，AC 的中点，OA OD DA OD 12BAOD 12(OA OB)，OA 2OD OB，同理可得：OA 2OE OC.2OA 2OD 2OE(OB OC)，O AO BOC0，OA 2OD 2OE(OB OC OA)2OD 2OE，xy2，xy4.3(2019贵州遵义航天高级中学四模)已知向量 a(2，1)，b(1,7)，则下列结论正确的是()AabBabCa(ab)Da(ab)答案 D解析 ab50，A 不正确；a(2，1)
17、，b(1,7)，271150，B 不正确；a(ab)(2，1)(1，8)100，C 不正确；ab(3,6)，a(ab)660，即 a(ab)故选 D.4(2019安徽宣城二调)已知平面向量 a，b，满足|a|2，|b|1，a 与 b的夹角为 60，若(ab)b，则实数 的值为_答案 1解析|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为 60，ab|a|b|cos601.(ab)b，b(ab)0，|b|2ab0，即 10，解得 1.5(2019全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_.答案 23解析 由题意，得 cosa，ca2a 5b|a|2a 5b|2a2
18、 5ab|a|2a 5b|221 4523.6(2019浙江高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i(i1,2,3,4,5,6)取遍1 时，|1AB2BC3CD 4DA 5AC6BD|的最小值是_，最大值是_答案 0 2 5解析 如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则AB(1,0)，AD(0,1)设 a1AB2BC3CD 4DA 5AC6BD1AB2AD 3AB4AD 5(ABAD)6(AD AB)(1356)AB(2456)AD(1356，2456)故|a|1356224562.i(i1,2,3,4,5,6)取遍1，当 13
19、560，24560 时，|1AB2BC3CD 4DA 5AC6BD|取得最小值 0.考虑到 56，56 有相关性，要确保所求模最大，只需使|1356|，|2456|尽可能取到最大值，即当 13562，24564 或 13564，24562 时可取到最大值，|1AB2BC3CD 4DA 5AC6BD|的最大值为 4162 5.金版押题7已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且AP AB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系，则 B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，
20、t)，AP AB|AB|4AC|AC|t1t，0 4t(0，t)(1,4)，即 P(1,4)，PB PC 1t1，4(1，t4)171t4t 1721t4t13，当且仅当 t12时取“”8已知在ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于 E，F 两点，若ABAE(0)，AC AF(0)，则14的最小值是_答案 92解析 由题意得，ABAC2AD AEAF，所以AD 2AE2AF，又D，E，F 在同一条直线上，可得221.所以1422 14 522 252292，当且仅当 2 时取等号4 配套作业 PART FOUR 一、选择题1.(2019安徽毛坦厂中学高三校
21、区 4 月联考)如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，CD 2AB，点 E 是 AD 的中点，若ABa，CEb，则BE()A3abB2abC3a2bD2a2b答案 A解析 CD 2AB，DC 2AB，点 E 是 AD 的中点，AEED.BEAEABED ABCD CEAB2aba3ab.故选 A.2(2019陕西榆林三模)已知向量 a 与向量 b 的模均为 2，若|a3b|2 7，则向量 a 与向量 b 的夹角是()A60B30C120D150答案 A解析|a3b|2|a|26ab9|b|24024cosa，b28，cosa，b12，a，b60，故选 A.3如图，在OAB 中，P 为线段
22、AB 上的一点，OP xOA yOB，且BP2PA，则()Ax23，y13Bx13，y23Cx14，y34Dx34，y14答案 A解析 由题意知OP OB BP，又BP2PA，所以OP OB 23BAOB 23(OA OB)23OA 13OB，易知 x23，y13.4(2019新疆维吾尔族自治区二模)O 是ABC 的外接圆圆心，且OA ABAC0，|OA|AB|1，则CA在BC方向上的投影为()A12B 32C.12 D.32答案 B解析 由OA ABAC0，得OB CA，所以四边形 ABOC 是平行四边形又 O 是ABC 的外接圆圆心，所以 OAOBOC，所以四边形 ABOC是菱形，且ACO
23、60，CB 平分ACO，所以ACB30，即CA与BC的夹角为 150，因为|OA|AB|1，所以CA在BC 方向上的投影为|CA|cos150 32.故选 B.5已知AB(2,1)，点 C(1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD 方向上的投影为()A3 5B3 55C.3 22D3 5答案 C解析 点 C(1,0)，D(4,5)，CD(5,5)又AB(2,1)，向量AB在CD方向上的投影为|AB|cosAB，CD ABCD|CD|155 23 22.6在ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则ABC 的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案 C解析 由(BC
24、BA)AC|AC|2，得AC(BCBAAC)0，即AC(BCBACA)0，AC2BA0，ACBA.A90，选 C.7(2019山东师范大学附属中学五模)已知 O 是ABC 所在平面上的一定点，若动点 P 满足OP OA AB|AB|sinBAC|AC|sinC，(0，)，则点 P的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心答案 C解析|AB|sinB|AC|sinC，设它们等于 t，OP OA 1t(ABAC)，如图，设 BC 的中点为 D，则ABAC2AD，1t(ABAC)表示与AD 共线的向量AP，而点 D 是 BC 的中点，即 AD 是ABC 的中线，所以点 P 的轨迹一定通过三
25、角形的重心故选 C.8平面向量 a，b 满足|a|4，|b|2，ab 在 a 上的投影为 5，则|a2b|为()A2 B4 C8 D16答案 B解析 根据条件，|ab|cos(ab)，a|ab|aba|ab|a|a2ab|a|16ab45，所以 ab4，所以(a2b)2a24ab4b216161616，所以|a2b|4.故选 B.二、填空题9(2019辽宁沈阳郊联体高三一模)若平面向量 e1，e2 满足|e1|3e1e2|2，则 e1 在 e2 方向上的投影的最大值为_答案 4 23解析 因为|e1|3e1e2|2，所以|e1|24,9|e1|2|e2|26e1e24，e1 在e2 方向上的投
26、影为e1e2|e2|2cos，其中 为 e1，e2 的夹角又 36|e2|212|e2|cos4，故|e2|212|e2|cos320.设 t|e2|，则 t212tcos320 有非负解，故cos0.1x 4y11x 21xx1xx2.令 f(x)x1xx2，得 f(x)x22x1xx22，令 f(x)0，得 x 21 或 x 21(舍去)当 0 x 21 时，f(x)21 时，f(x)0.当 x 21 时，f(x)取得最小值 f(21)2 21 21232 2.三、解答题12已知向量 a(sinx，cosx)，bcosx6 sinx，cosx，函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的单调递
27、增区间；(2)若 0，2，且 cos 12 13，求 f()解(1)f(x)sinxcosx6 1 32 sinxcosx12sin2x1 34 sin2x14cos2x3412sin2x6 34.令 2k22x62k2，kZ，解得 k3xk6，kZ.故 f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2)f()12sin26 34sin 12 cos 12 34，又 cos 12 13，且 0，2，sin 12 2 23，f()2 29 34.13已知ABC 的面积为 S，且BABCS.(1)求 tan2B 的值；(2)若 cosA35，且|CACB|2，求 BC 边上的中线 AD 的长解(1)
28、由已知BABCS 有 accosB12acsinB，可得 tanB2，所以 tan2B 2tanB1tan2B43.(2)由|CACB|2 可得|BA|2，由(1)知 tanB2，解得 sinB2 55，cosB 55，又 cosA35，所以 sinA45，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB2 55.因为 sinBsinC，所以 BC，所以 ABAC2，所以中线 AD 也为 BC 边上的高，所以 ADABsinB22 55 4 55.14(2019湘赣十四校高三第二次联考)在ABC 中，已知内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，a3 2，b3，cosAcos2B.(1
29、)求边 c 的长；(2)若 D 为直线 BC 上的一点，且|CD|2|BD|，求|AD|.解(1)解法一：a3 2，b3，sinA 2sinB.又 cosAcos2B，所以与平方相加得 2sin2Bcos22B1，即 cos22Bcos2B0，cos2B0 或 cos2B1.又 ab，B 为锐角，02Bb，B 为锐角，02B0，设函数 f(x)ab3 的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B，C 为图象与 x 轴的交点，且ABC 为等边三角形，其高为 2 3.(1)求 的值及函数 f(x)的值域；(2)若 f(x0)8 35，且 x0103，23，求 f(x01)的值解 (1)由 已 知 可 得 f(x)ab 3 6cos2 x2 3 sinx 3 23sinx3，由正ABC 的高为 2 3，可得 BC4，所以函数 f(x)的最小正周期 T428，即28，得 4，故 f(x)2 3sinx4 3，所以函数 f(x)的值域为2 3，2 3(2)由(1)有 f(x0)2 3sinx04 3，又 f(x0)8 35，故 sinx04 3 45，由 x0103，23，得x04 32，2，所以 cosx04 3 145235，故 f(x01)2 3sinx04 432 3sinx04 3 42 3 22 sinx04 3 cosx04 3 64535 7 65.本课结束
