1、北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理） 试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分请把答案填写在答题卡的相应位置上1. 已知集合，则（）A B C D【答案】B【解析】,，所以,选B.2. 函数的定义域为（ ）A BC D【答案】D【解析】要使函数有意义，则有，即，解得且，选D.3下列命题中是假命题的是（ ）A都不是偶函数B有零点CD上递减【答案】A【解析】当时，为偶函数，所以A错误，选A.4边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C
2、D【答案】B【解析】边7对角为，则由余弦定理可知，所以，所以最大角与最小角的和为，选B.5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A B CD【答案】B【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构.判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3；当执行第10项时， 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。故答案为：或,选B.6已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）【答案】A【解析】由函数的两个根为，图象可知。所以根据指数函数的图象可知选A.7函数的图象与x轴所围成的
3、封闭图形的面积为（ ）A B 1 C 2 D【答案】A【解析】根据积分的应用可求面积为，选A.8定义在R上的函数满足，当时，则（ ）A BC D【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：且,而函数在是减函数，选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分请把答案填写在答题纸的相应位置上9设为虚数单位，则_. 【答案】【解析】因为。所以10正项等比数列中，若，则等于_.【答案】16【解析】在等比数列中，所以由，得，即。11. 已知的最小值是5，则z的最大值是_.【答案】10【解析】由，则，因为的最小值
4、为5，所以，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，所以直线CD的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即D(3，1),代入直线得。12. 设函数_.【答案】【解析】令得，即。令得。令得。13. 已知函数，给出下列四个说法：若，则； 的最小正周期是；在区间上是增函数； 的图象关于直线对称其中正确说法的序号是_.【答案】【解析】函数，若，即，所以，即，所以或，所以错误；所以周期，所以错误；当时，函数递增，所以正确；当时，为最小值，所以正确，所以正确的有2个，选B.14定义一种运算，令，且，则函数
5、的最大值是_. 【答案】【解析】令，则由运算定义可知，当，即时，该函数取得最大值.由图象变换可知，所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.三、解答题：本大题共6小题，共计80分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点已知的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值16.（本小题满分13分）已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）求的单调增区间.（3）当时,求函数的最大值，最小值.17.（本小题满分13分）设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn.（1）若
6、，求数列的通项公式；（2）若求所有可能的数列的通项公式.18.（本小题满分13分）已知函数（）.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.（3）若，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式若不存在，请说明理由20.（本小题满分14分）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.（1）求+的值及+的值（2）已知，当时，
7、+，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. A8. D 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9. i10. 16.11. 1012. 13. 14. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（）由已知得：为锐角 -6分（） 为锐角， -13分16. （本小题满分13分）解：（I）. 3分 令. 函数图象的对称轴方程是 5分（II）故的单调增区间为 8分(I
8、II) , 10分 . 11分 当时,函数的最大值为1,最小值为. 13分17.（本小题满分13分）解：（）由又故解得因此，的通项公式是1，2，3，（）由得即由+得7d11，即由+得, 即,于是又，故.将4代入得又，故所以，所有可能的数列的通项公式是1，2，3，.18.（本小题满分13分）（）解：当时，所以，由，解得，由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和. （）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，所以， 所以当时，有最大值为， 因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以，实数的取值范围为或. （III）.19.（本小题满分14分）解：（1） 由当；当 （2）， 有解 由即上有解 令， 上减，在1，2上增 又，且 （3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使 10分 又时， 故 -2得，解得（舍） 故，此时 满足 存在满足条件的数列 14分20.（本小题满分14分）解：（）点M在直线x=上，设M.又，即，+=1. 当=时，=，+=； 当时，+=+=综合得，+. （）由（）知，当+=1时, +，k=. n2时，+， ， 得，2=-2(n-1),则=1-n. 当n=1时，=0满足=1-n. =1-n. （）=，=1+=.=2-，=-2+=2-，、m为正整数，c=1，当c=1时，13，m=1.