1、课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1(2014广东卷)下列函数为奇函数的是()Af(x)2xBf(x)x3sinxCf(x)2cosx1Df(x)x22x解析：令f(x)2x2x2x，其定义域为R，且f(x)2x2xf(x)，f(x)为奇函数答案：A2设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f()()A0B1C1D2解析：由f(x)是奇函数可知，f(0)0，f()f()又因为yf(x)的图象关于x对称，所以f(0)f()，因此f()0，故选A.答案：A3(2014大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2
2、B1C0D1解析：f(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，又f(x)为奇函数，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x2)，即f(x4)f(x)，f(x)是以8为周期的函数，f(8)f(9)f(0)f(1)011.答案：D4(2014山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tanxDf(x)cos(x1)解析：f(x)f(2ax)可得函数关于直线xa对称，结合选项，只有D选项中函数有对称轴，故选D.答案：D5x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(
3、x)xx在R上为()A奇函数B偶函数C增函数D周期函数解析：由题知，f(x)xx据此画出f(x)的部分图象如图所示：由图象知，f(x)为周期为1的周期函数答案：D6若奇函数f(x)在(0，)上是增函数，又f(3)0，则不等式0的解集为()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)解析：如图，作出f(x)的草图：由0可知x，f(x)异号，不等式的解为3x0或0x3.答案：B二、填空题7(2014新课标卷)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析：yf(x)为偶函数，知f(x)f(x)，图象关于x2对称，知f(2x)f(2x)f(
4、1)f(1)f2(1)f2(1)f(3)3.答案：38如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_.解析：令x0，g(x)2x3，g(x)2x3，f(x)2x3.答案：2x39(2014湖南卷)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析：因为f(x)ln(e3x1)ax为偶函数，则f(x)f(x)，所以f(x)ln(e3x1)a(x)ln(e3x1)3xaxln(e3x1)ax，则3aa，得a.答案：三、解答题10已知函数f(x)2|x2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x0，则x2x成立，求实数k的取值范围解：(1)因为f(x)2xk
5、2x是奇函数，所以f(x)f(x)，xR，即2xk2x(2xk2x)，所以(1k)(k1)22x0，对一切xR恒成立，所以k1.(2)因为x0，)，均有f(x)2x，即2xk2x2x成立，所以1k22x对x0恒成立，所以1k0.1设定义在R上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于()ABCD解析：由f(t)f(1t)，得f(1t)f(t)f(t)，所以f(2t)f(1t)f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)f(11)f(0)0，所以f(3)ff(1)f02.故选C.答案：C2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x1)
6、为奇函数，f(0)0，当x(0,1时，f(x)log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)1f(1)的实数x的值为_解析：根据已知得f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)，以x1代x，得f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，即4为函数f(x)的一个周期再由f(x1)f(x1)，以x1代x，可得f(x)f(2x)，当x1,2)时，2x(0,1，所以当x1,2)时，f(x)log2(2x)当x(8,9时，x8(0,1，此时f(x)f(x8)log2(x8)，方程f(x)1f(1)，即f(x)1，即log2(x8)1，解得x；当x(9,10)时，x8(1,2
7、)，此时f(x)f(x8)log2(8x)，方程f(x)1f(1)，即f(x)1，即log2(10x)1，解得x8(舍去)综上可知，在(8,10)内满足方程f(x)1f(1)的实数x的值为.答案：3奇函数f(x)满足对任意xR都有f(2x)f(2x)0，且f(1)9，则f(2 010)f(2 011)f(2 012)的值为_解析：奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)0，则f(2x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2)f(3)f(4)，令x0，则f(2)0；令x2，则f(4)f(0)0；由f(3)f(1)f(1)9
8、，故f(2 010)f(2 011)f(2 012)9.答案：94已知函数f(x)的定义域为(1,1)，满足f(x)f(x)，且f().(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性的定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(x21)f(x)0.解：(1)由f(x)f(x)，得b0，则f(x)，又由f()，所得a1；所以f(x).(2)设1x1x21，则f(x1)f(x2)又1x1x21，x1x20,1x0,1x0，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(1,1)上是增函数(3)由f(x21)f(x)0得f(x21)f(x)即f(x21)f(x)由(2)知f(x)在(1,1)上是增函数，则1x0或0x所以，原不等式的解集为(1,0)(0，)