1、第2讲 不等式选讲 第二编 讲专题专题七 选修4系列考情研析 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点难度不大，分值 10 分，一般会出现在选考部分第二题的位置.1 核心知识回顾 PART ONE 1.绝对值的三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则，当且仅当ab0 时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立01|ab|a|b|02|ac|ab|bc|2|
2、axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c(c0).(2)|axb|c(c0).01 caxbc02 axbc 或 axbc3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想4证明不等式的基本方法(1)；(2)；(3)；(4)；(5)5二维形式的柯西不等式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)，当且仅当时，等号成立01 比较法02 综合法03 分析法04 反证法05 放缩法01(
3、acbd)202 adbc2 热点考向探究 PART TWO 考向 1绝对值不等式的解法及应用角度 1 绝对值不等式的解法例 1(2019乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数 f(x)2|x1|xa|，aR.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)x 有实数解，求实数 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)2|x1|x1|，当 x1 时，由 f(x)0 得2(x1)(x1)0，即x30，得 x3，此时3x1，当1x1，由 f(x)0 得 2(x1)(x1)0，即 3x10，得 x13，此时1x13，当 x1 时，由 f(x)0 得 2(x1)
4、(x1)0，即 x30，得 x3，此时无解，综上，不等式的解集为x 3x13.(2)f(x)x2|x2|x|xa|有解，等价于函数 y2|x2|x的图象上存在点在函数 y|xa|的图象下方，由函数 y2|x2|x 与函数 y|xa|的图象可知，a0 或 a4.解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点划区间、去绝对值号分别解去掉绝对值的不等式取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法(3)用绝对值不等式的几何意义求解(1)解关于
5、x 的不等式 x|x4|30；(2)关于 x 的不等式|x|2|x9|a 有解，求实数 a 的取值范围解(1)原不等式等价于x40，xx430 或x40，xx430，解得 x2 7或3x1，所以原不等式的解集是(，2 7)(3，1)(2)令 f(x)|x|2|x9|，则关于 x 的不等式|x|2|x9|f(x)min.f(x)3x18，x9，18x，0 x9，183x，x9，即实数 a 的取值范围为(9，)角度 2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例 2(2019德阳市高三第二次诊断)已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)x 的解集；(2)若 f(x)a21
6、 恒成立，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x2|，即 f(x)3，x2，2x1，2x1，3，x1，不等式 f(x)x 即为x2，3x或2x2，a2a21，解得 a1 52或 a1 52，实数 a 的取值范围是，1 521 52，.解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)a 恒成立f(x)mina；f(x)a 恒成立f(x)maxa 有解f(x)maxa；f(x)a 有解f(x)mina 无解f(x)maxa；f(x)a 无解f(x)mina.(2019宣城市高三第二次调研)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)2x1.(1)解关于 x 的
7、不等式 g(x)|x1|；(2)如果xR，不等式|g(x)|c|x1|恒成立，求实数 c 的取值范围解(1)由题意可得，g(x)2x1，所以 g(x)|x1|即 2x1|x1|.当 x1 时，2x1x1，解得 x0，所以 x1；当 x1 时，2x11x，解得 x23，所以23x1.综上，x23，.(2)因为|2x1|c|x1|，即 c|2x1|x1|.令(x)|2x1|x1|x，x1，3x2，12x1，x，x0，b0，函数 f(x)|xa|xb|.(1)当 a1，b1 时，解关于 x 的不等式 f(x)1；(2)若函数 f(x)的最大值为 2，求证：1a1b2.解(1)当 a1，b1 时，f(
8、x)|x1|x1|2，x1，2x，1x1，2，x1，不等式恒成立，此时不等式的解集为x|x1；当1x1，所以 x12，此时不等式的解集为x12x1；当 x1，不等式不成立，此时无解综上所述，不等式 f(x)1 的解集为xx12.(2)证法一：由绝对值三角不等式可得|xa|xb|ab|，a0，b0，ab2，1a1b12(ab)1a1b 122baab 2，当且仅当 ab1 时，等号成立证法二：a0，b0，a0b，函数 f(x)|xa|xb|x(a)|xb|ab，xb，2xab，axb，ab，xa，结合图象易得函数 f(x)的最大值为 ab，ab2.1a1b12(ab)1a1b 122baab 2
9、，当且仅当 ab1 时，等号成立不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明转化为函数问题，利用数形结合进行证明(2019延安市高考模拟)已知函数 f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式 f(x)|x|1；(2)若对 x，yR，有|xy1|13，|2y1|16，求证：f(x)56.解(1)因为 f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，即x12，2x1x1或0 x12，12xx1或x
10、0，12xx1，解得12x2 或 0 x12或.所以不等式的解集为x|0 x0，abc1.求证：(1)a b c3；(2)13a113b113c132.证明(1)由柯西不等式得(a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(a)2(b)2(c)23，当且仅当 1a 1b 1c，即 abc13时等号成立，a b c3.(2)证法一：43a1(3a1)243a13a14当且仅当3a143a1时取等号，43a133a.同理得43b133b，43c133c，以上三式相加得，413a113b113c1 93(abc)6当且仅当abc13时取等号，13a113b113c132.证法二：由柯西不等
11、式得(3a1)(3b1)(3c1)13a113b113c1 3a113a13b113b13c113c129当且仅当abc13时取等号，又 abc1，613a113b113c1 9，13a113b113c132.柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利 用 柯 西 不 等 式 求 最 值 的 一 般 结 构 为(a 21 a 22 a2n)1a21 1a22 1a2n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件(2019南通市高三下学期模
12、拟)已知 a，b，c 均为正数，且 a2b4c3，求 1a1 1b1 1c1的最小值，并指出取得最小值时 a，b，c 的值解 因为 a2b4c3，所以(a1)2(b1)4(c1)10，因为 a，b，c 为正数，所以由柯西不等式得，(a1)2(b1)4(c1)1a1 1b1 1c1(1 22)2，当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2 等式成立，所以 1a1 1b1 1c1116 210，所以 1a1 1b1 1c1的最小值是116 210，此时 a2310 27，b15 2177，c85 27.3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1(2019哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函
13、数 f(x)|2x1|2|x1|a.(1)当 a4 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若函数 f(x)的定义域为 R，求 a 的取值范围解(1)当 a4 时，f(x)0 为|2x1|2|x1|4，当 x1 时，12x2x24x54；当1x4，无解；当 x12时，2x12x24x34.综上，f(x)0 的解集为，54 34，.(2)由题意得|2x1|2|x1|a 恒成立，a(|2x1|2|x1|)min.|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，a0，b0，且 ab2，求证：a1 b12 fx.解(1)由 f(m)|m1|m1|(m1)(m1)|2，f(m)min2，n
14、22n12，1n3，所以 n 的取值范围是1,3(2)证明：由(1)可知，2 fx2 2，(a1b1)2ab22 a1b14(a1)(b1)8，a1 b12 2，当且仅当 ab1 时等号成立，a1 b12 fx.3(2019全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.当且仅当 abc1 时，等号成立所以1a1b1ca2b2c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1
15、，故有(ab)3(bc)3(ca)333 ab3bc3ca33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.金版押题4已知函数 f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式 f(x)a 的解集是空集，求实数 a 的取值范围；(2)若存在 x0R，使得 2f(x0)t24|t|成立，求实数 t 的取值范围解(1)f(x)|2x3|x1|x4，x1，3x2，1x32，x4，x32，yf(x)的图象如图所示，易得 f(x)min52.不等式 f(x)a 的解集是空集，a 的取值范围为，52.(2)x0R，使得
16、2f(x0)t24|t|成立，即 2f(x)mint24|t|，由(1)知 f(x)min52，t24|t|50，解得5t5，t 的取值范围为5,54 配套作业 PART FOUR 1(2019西安八校高三联考)已知 a，b 均为实数，且|3a4b|10.(1)求 a2b2 的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2 对任意的 a，bR 恒成立，求实数 x 的取值范围解(1)因为 102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以 a2b24，当且仅当ab34，即a65，b85或a65，b85时取等号，即 a2b2 的最小值为 4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2 对任意的
17、 a，bR 恒成立|x3|x2|4x3，54或3x2，2x14或x2，54x3 或3x32x32，所以实数 x 的取值范围为，32.2已知函数 f(x)|2xa|x1|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)5x 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 a3 时，即求解|2x3|x1|2，当 x32时，2x3x12，x2；当 1x32时，32xx12,2x2，x0，无解；当 x1 时，32x1x2，3x2，x23.综上，解集为xx23或x2.(2)f(x)5x 恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立，令 g(x)5x|x1|62x，x1，4，x1，
18、则函数图象如图a23，a6.3已知函数 f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得 f(x)m 成立，求 m 的范围；(2)求不等式 x28x15f(x)0 的解集解(1)f(x)|x5|x2|3，x2，72x，2x5，3，x5，其对应图象如图所示易知 f(x)min3，m3，即 m 的取值范围为3，)(2)x28x15f(x)x28x18，x2，x210 x22，2x5，x28x12，x5，x2，x28x180，解集为.2x5，x210 x220,5 3x5.x5，x28x120,5x6.综上所述，不等式的解集为x|5 3x64(1)解不等式：|2x1|x|1；(2)设 f(x)x2x1，实
19、数 a 满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)解(1)当 x0 时，原不等式可化为2xx0，所以 x 不存在；当 0 x12时，原不等式可化为2xx0，所以 0 x12；当12x 时，原不等式可化为 2x1x1，解得 x2，所以12x2.综上，原不等式的解集为x|0 x2(2)证明：因为|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，所以|f(x)f(a)|2x 成立，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|2x1|x1|x2，x1，3x，12x1，x2，x1，x22 或12x1，3x2或x12，x22，
20、解得 x或12x23或4x2x 等价于 2x1|ax1|2x，即|ax1|1，所以1ax11，即 0ax2.因为 x12，0，所以 a0，所以2xa0，又由 x12，0，得2x4，所以4a0，即 a 的取值范围是4,0)6已知函数 f(x)|xm|，m0.(1)当 m1 时，解不等式 f(x)f(x)2x；(2)若不等式 f(x)f(2x)1 的解集非空，求 m 的取值范围解(1)当 m1 时，f(x)f(x)|x1|x1|，设 F(x)|x1|x1|2x，x1，2，1x1，2x，x1，当 x1 时，2x2x，解得 x2；当1x1 时，22x，解得 0 x1；当 x1 时，2x2x，解得 x1
21、.综上，原不等式的解集为x|x2 或 x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.设 g(x)f(x)f(2x)，当 xm 时，g(x)mxm2x2m3x，则 g(x)m；当 mxm2时，g(x)xmm2xx，则m2g(x)m；当 xm2时，g(x)xm2xm3x2m，则 g(x)m2.则 g(x)的值域为m2，由题知不等式 f(x)f(2x)m2，解得 m2，由于m0，故 m 的取值范围是(2，0)7(2019宝鸡市高考模拟)已知函数 f(x)|x2|x3|.(1)求不等式 f(x)2 的解集；(2)若不等式 f(x)a26a 的解集非空，求实数 a 的取值范围解(1)由 f(x)|
22、x2|x3|2 可化为：x2，x2x32，解得 x或32x2 或 x2，所以不等式 f(x)2 的解集为xx32.(2)因为|f(x)|x2|x3|x2x3|5，所以5f(x)5，即 f(x)min5；要使不等式 f(x)a26a 解集非空，需 f(x)min0，解得 a1，所以 a 的取值范围为(，5)(1，)8(2019太原市高三模拟)已知函数 f(x)|2x1|2|x1|.(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)若存在实数 x0，使得 f(x0)5mm2 成立的 m 的最大值为 M，且实数 a，b 满足 a3b3M，证明：00，2aba2b2，4ab(ab)2，abab24，2a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab14(ab)3，ab2，0ab2.本课结束
