1、2015-2016学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202下列判断，正确的是（）A平行于同一平面的两直线平行B垂直于同一直线的两直线平行C垂直于同一平面的两平面平行D垂直于同一平面的两直线平行3若双曲线方程为=1，则双曲线渐近线方程为（）ABCy=4xDy=x4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A30B45C60D905已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|
2、F2A|+|F2B|=30，则|AB|=（）A16B18C22D206方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ak4Bk=4Ck4D0k47双曲线x2y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）ABC1D8已知双曲线=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点重合，则m=（）A3B5C4D19已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D1，5）10设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD
3、11已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，O为原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则OM的长度取值范围（）A0，3）BCD0，4）12已知F1、F2分别是双曲线C：=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）AB3CD2二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13过点（1，2）的抛物线的标准方程是14某几何体的三视图如图所示，它的体积为15已知一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a，b，c恰为双曲线的半实轴长，半虚轴长，半焦距，且此方程无实根，则双曲线离心率e的取值范围
4、是16以下五个关于圆锥曲线的命题中：平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为的点的轨迹方程是；点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；平面内到两定点距离之比等于常数（0）的点的轨迹是圆；若动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹是双曲线； 若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y7=0其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，共70分）17盒中有5只灯泡，其中2只次品，3只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（
5、1）取到的2只中正品、次品各一只；（2）取到的2只中至少有一只正品18如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA底面ABCD，点E为VA的中点（）求证：VC平面BED；（）求证：平面VAC平面BED19已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；（2）判断点A（1，1）与椭圆的位置关系，并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程20在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x2）2+（y+1）2=5，过点P（5，0）且斜率为k的直线l与圆C相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）若弦长|AB|=4，求直线l的方程21已知中心在原点
6、的双曲线C的一个焦点是F1（3，0），一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程；（）若以k（k0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围22已知椭圆过点，且离心率（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由2015-2016学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若直线经过A（0，
7、1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D120【考点】直线的倾斜角【分析】由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角【解答】解：直线经过A（0，1），B（3，4）两点，直线AB的斜率k=1，直线AB的倾斜角=45故选B2下列判断，正确的是（）A平行于同一平面的两直线平行B垂直于同一直线的两直线平行C垂直于同一平面的两平面平行D垂直于同一平面的两直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：平行于同一平面的两直线平行，相交、异面，故A不正确；垂直于同一直线的两直线平
8、行平行，相交、异面，故B不正确；垂直于同一平面的两平面平行平行，相交，故C不正确；垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；故选：D3若双曲线方程为=1，则双曲线渐近线方程为（）ABCy=4xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系，只要将双曲线方程中的“1”换为“0”，化简整理，可得渐近线方程【解答】解：由双曲线方程与渐近线方程的关系，将双曲线方程中的“1”换为“0”，有=0，即为y=x故选：B4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化
9、为平面知识，进一步解三角形求出结果【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，在A1DC1中，利用边长求得：A1DC1为等边三角形AC与A1D所在直线所成的角60故选：C5已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|+|F2B|=30，则|AB|=（）A16B18C22D20【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义得，则|AB|+|AF2|+|BF2|=52，由此可求出|AB|的长【解答】解：由椭圆的定义得，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52，又|F2A|+|F2B|=30，|AB|+30=52，|AB|=22故选：C6方程kx2+
10、4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ak4Bk=4Ck4D0k4【考点】椭圆的简单性质【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4k0故选：D7双曲线x2y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）ABC1D【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线x2y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=x，所以所求的距离为=故选B8已知双曲线=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点重合，则m=（）A3B5C4D1【考点
11、】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的右焦点，由双曲线=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点重合，求m【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），即有双曲线=1的右焦点为（2，0），则c=2，解得m=221=3，故选：A9已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D1，5）【考点】椭圆的简单性质；恒过定点的直线【分析】要使直线ykx1=0恒过点（0，1），需点（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围【解答】解：直线ykx1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒
12、与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，1且m0，得m1，而根据椭圆的方程中有m5，故m的范围是1，5）（5，+），故本题应选C10设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交
13、CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 =1，即 故选D11已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，O为原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则OM的长度取值范围（）A0，3）BCD0，4）【考点】椭圆的简单性质【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=|PF1|PF2|再利用圆锥曲线的统一定义，化简得|PF1|PF2|=|x
14、0|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出OM的长度取值范围【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，PM是F1PF2平分线，F1MMP，|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，O为F1F2中点，M为F1N中点|OM|=|F2N|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|设P点坐标为（x0，y0），在椭圆=1中，离心率e=，由圆锥曲线的第二定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=aex0，|PF1|PF2|=|a+ex0a+ex0|=|2ex0|=|x0|P点在椭圆=1上，|x0|0，4，又x0，y0，可得|x0|（0，4），|OM|（0，2），OM的长度取值范围是（0
15、，2）故答案选：B12已知F1、F2分别是双曲线C：=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）AB3CD2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F1（c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，|MF2|=2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，OAF1M，F1MF2为直角，MF1F2为直角三角形，由勾
16、股定理得4c2=c2+4b23c2=4（c2a2），c2=4a2，c=2a，e=2故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13过点（1，2）的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=y【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出抛物线的标准方程，把点P坐标代入，即可求得p，则抛物线方程可得【解答】解：设抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），抛物线过点（1，2），2p1=4或2p（2）=1，2p=4或，抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y，故答案为：y2=4x或x2=y14某几何体的三视图如图所示，它的体积为57【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：原几何体是由上下两部分
17、组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥据此可计算出答案【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥圆锥的高h=4V=57故答案为5715已知一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a，b，c恰为双曲线的半实轴长，半虚轴长，半焦距，且此方程无实根，则双曲线离心率e的取值范围是（1，2+）【考点】双曲线的简单性质【分析】由方程ax2+bx+c=0无实数根可知b24ac0，再根据双曲线的性质推导此双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：由题意可知b24ac
18、0，b2=c2a2，c2a24ac0，e24e10，解得2e2+e1，1e2+故双曲线的离心率e的取值范围是 （1，2+）故答案为：（1，2+）16以下五个关于圆锥曲线的命题中：平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为的点的轨迹方程是；点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；平面内到两定点距离之比等于常数（0）的点的轨迹是圆；若动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹是双曲线； 若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y7=0其中真命题的序号是（写出所有真命
19、题的序号）【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】求出平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为的点的轨迹方程，即可判断的正误；确定点A（3，6）的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正确；找出反例即可否定平面内到两定点距离之比等于常数（0）的点的轨迹是圆；利用双曲线的第二定义判断：若动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹是双曲线是否正确；若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，求出直线l的方程是否为3x+4y7=0，即可判定正误【解答】解：平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为的点的轨迹方程是，显然不正确，因为（2，0）在直线x=
20、2上；点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；因为（3，6）在抛物线的内部，所以正确；平面内到两定点距离之比等于常数（0）的点的轨迹是圆，=1时是直线，所以不正确；若动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹是双曲线，显然不正确，因为不满足双曲线的定义；若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y7=0，满足题意，正确故答案为：三、解答题（共6小题，共70分）17盒中有5只灯泡，其中2只次品，3只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只中正
21、品、次品各一只；（2）取到的2只中至少有一只正品【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）从5只灯泡中有放回地任取两只，共有52种不同取法由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能，第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果（2）取到的两只中至少有一只正品是取到的两只都是次品的对立事件，先做出两只都是次品的概率，再根据对立事件的概率公式，得到概率【解答】解：从5只灯泡中有放回地任取两只，共有52=25种不同取法（1）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次
22、取到次品，第二次取到正品所求概率为P=；（2）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件所求概率为P=1=即取到的2只中正品、次品各一只的概率为；取到的2只中至少有一只正品的概率为18如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA底面ABCD，点E为VA的中点（）求证：VC平面BED；（）求证：平面VAC平面BED【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）连结OE，证明：OEVC，利用线面平行的判定定理证明VC平面BED；（）证明BD平面VAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面VAC平面BED【解答】证明：（）连结OE底面ABC
23、D是正方形，O为AC的中点又E为VA的中点，OEVC又VC平面BED，OE平面BED，VC平面BED（）VA平面ABCD，VABD又 ACBD，ACVA=A，BD平面VACBD平面BED，平面VAC平面BED19已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；（2）判断点A（1，1）与椭圆的位置关系，并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程利用由弦长公式可得答案（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1
24、+x2=2，y1+y2=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程【解答】解：（1）由题意可得：过点F且斜率为1的直线方程为y=x2，联立直线与椭圆的方程可得：14x236x9=0，x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得：|MN|=（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆5x2+9y2=45，得5x12+9y12=45，5x22+9y22=455（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，10（x1x2）+1
25、8（y1y2）=0，k=，以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y1=（x1），整理，得5x+9y14=020在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x2）2+（y+1）2=5，过点P（5，0）且斜率为k的直线l与圆C相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）若弦长|AB|=4，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）直线l与圆C相交于不同的两点A，B，故圆心到直线l的距离，即可求k的取值范围；（）若弦长|AB|=4，利用勾股定理，求出k，即可求直线l的方程【解答】解：（）由已知圆C：（x2）2+（y+1）2=5，知圆心C（2，1），半径，设过点P（5，0）且斜率为k的直
26、线l：y=k（x5），因为直线l与圆C相交于不同的两点A，B，故圆心到直线l的距离得（2k+1）（k2）0，所以，（）弦长|AB|=4，得：解得：k=0或y=0或是3x4y15=021已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（3，0），一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程；（）若以k（k0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围【考点】双曲线的应用【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中
27、点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围【解答】解：（）解：设双曲线C的方程为（a0，b0）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线l的方程为y=kx+m（k0）点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得（54k2）x28kmx4m220=0此方程有两个不等实根，于是54k20，且=（8km）2+4（54k2）（4m2+20）0整理得m2+54k20 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，从而线段MN的垂直平分线方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别
28、为，由题设可得整理得，k0将上式代入式得，整理得（4k25）（4k2|k|5）0，k0解得或所以k的取值范围是22已知椭圆过点，且离心率（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）由可得，把点代入椭圆方程，及利用a2=b2+c2即可得出（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得到根与系数的关系，利用，得到kADkBD=1，即可得出【解答】解：（）由题意椭圆的离心率，a=2c，b2=a2c2=3c2椭圆方程为，又点在椭圆上，解得c2=1椭圆的方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，由=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m20，kADkBD=1，又椭圆的右顶点D（2，0），y1y2+x1x22（x1+x2）+4=0，化为7m2+16mk+4k2=0，解得，且满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为2016年10月25日