1、课后素养落实(十九)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A B C DB设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x，则a2，解得a，故点P的坐标为2抛物线y22px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，8)，那么|AF|BF|()A14 B12C25 D38C将点A(2，4)的坐标代入y22px，得p4，抛物线方程为y28x， 焦点F(2，0)，已知，B(8，8)，3过点(2，4)的直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条B点(2，4)在抛物线y28x
2、上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B4过点(1，0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2由得x24x10，x1x24，x1x21|AB|25若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|BF|8，则k()A2或1B1C2D1C设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得k2x24(k2)x40，故16(k2)216k264(1k)0，解得k1，且x1x2由
3、|AF|x1x12，|BF|x2x22，且|AF|BF|8，即x12x228，得x1x24，所以4，解得k1或k2，又k1，故k2二、填空题6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_6因为抛物线x22py的准线y和双曲线1相交交点横坐标为x，由等边三角形得2p，解得p67直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_(3，2)将yx1代入y24x，整理，得x26x10由根与系数的关系，得x1x26，3，2所求点的坐标为(3，2)8抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_设与直线xy40平行且与抛物线y24x相切的直线方程为x
4、ym0由得x2(2m4)xm20，则(2m4)24m20，解得m1，即直线方程为xy10，直线xy40与直线xy10的距离为d即抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为三、解答题9已知抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程解(1)由抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)，可得164p，解得p4所以抛物线C的方程为y28x，其准线方程为x2(2)当直线l的斜率不存在时，x0符合题意当直线l的斜率为0时，y2符合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为yk
5、x2由得ky28y160由6464k0，得k1，故直线l的方程为yx2，即xy20综上直线l的方程为x0或y2或xy2010已知抛物线C：y24x，过点(1，0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P(1)求点P的坐标；(2)若过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程解(1)由题意知可设过点(1，0)的直线方程为xty1联立得：y24ty40，又因为直线与抛物线相切，则0，即t1当t1时，直线方程为yx1，则点P坐标为(1，2)(2)设直线l的方程为：xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得：y24my80，则0恒成立，
6、y1y28，y1y24m，则x1x24，x1x2m(y1y2)44m24由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，则0，x1x2(x1x2)1y1y22(y1y2)40，4m28m30，则m或m则直线l的方程为y2x4或yx11(多选题)经过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是()A当AB与x轴垂直时，|AB|最小BC以弦AB为直径的圆与直线x相离Dy1y2p2ABD过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，A正确；，B正确；y1y2p2，D正确；以AB为直径的圆与准线x相切，C
7、错误，故选ABD12抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()ABCDA将y1代入y24x，得x，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为，故选A13已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6则抛物线C的方程为_；若抛物线C与直线ykx2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标
8、为2，则k_y28x2由题意设抛物线方程为y22px(p0)，其准线方程为x，根据定义可得46，所以p4，所以抛物线C的方程为y28x由消去y，得k2x2(4k8)x40由k0，64(k1)0，解得k1且k0又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值为214设抛物线y24x的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A若FAC120，则圆的方程为_(x1)2(y)21由y24x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以
9、点C的纵坐标为所以圆的方程为(x1)2(y)2115如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解(1)由抛物线的定义得|AF|2由已知|AF|3，得23，解得p2所以抛物线E的方程为y24x(2)证明：法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B又G(1，0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切