1、课后素养落实(十六)双曲线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1已知平面内两定点A(5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹方程是() A1 B1(x4)C1 D1(x3)D由题意知，轨迹应为以A(5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支由c5，a3，知b216，M点的轨迹方程为1(x3)2若ax2by2b(ab0)，则这个曲线是()A双曲线，焦点在x轴上B双曲线，焦点在y轴上C椭圆，焦点在x轴上D椭圆，焦点在y轴上B因为ab0，方程可化为y21，0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B3已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(，0)
2、，点P在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx21C由(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，故选C4双曲线1上的点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A22或2 B7 C22 D2A根据双曲线的方程得2a2510，由定义知|PF|12|10，可解得|PF|22或2，故选A5已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A B C DD因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2，0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是
3、C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131故选D二、填空题6若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围为_(3，2)(3，)依题意有或解得3m2或m3所以实数m的取值范围是(3，2)(3，)7已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5若2a8，那么ABF2的周长是_26根据双曲线定义知，|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8|AF2|BF2|16|AF1|BF1|16|AB|16521所以ABF2的周长是|AF2|BF2|AB|215268如图所
4、示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_x21设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以解得所以双曲线的标准方程为x21三、解答题9已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型解(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆10
5、已知双曲线1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？若F1MF260，F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随F1MF2的变化，F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论解设|MF1|r1，|MF2|r2(不妨设r1r2)，F1MF2，因为Sr1r2sin ，已知，所以只要求r1r2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2(1)当90时，Sr1r2sin r1r2由双曲线方程知a2，b3，c，由双曲线定义，得|r1r2|2a4，两边平方，得rr2r1r216，又
6、rr|F1F2|2，即|F1F2|24S16，也即52164S，求得S9(2)若F1MF2120，在MF1F2中，|F1F2|2rr2r1r2cos 120(r1r2)23r1r252，所以r1r212，求得Sr1r2sin 1203同理，可求得若F1MF260，S9(3)由以上结果可见，随着F1MF2的增大，F1MF2的面积将减小证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得，得r1r2，所以Sr1r2sin 因为0，所以0，在内，tan 是增函数因此当增大时，S减小即随着F1MF2的增大，F1MF2的面积将减小11(多选题)设是三角形的一个内角，对于方程1的说法正确的是()A当0时，方程表示椭圆B当
7、时，方程不表示任何图形C当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线D当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线BC当0时，sin 0，cos 0，但当时，sin cos 0表示圆，故A错误；当时，cos 0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当时，sin 0，cos 0，所以不论还是，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC12(多选题)已知方程1表示的曲线为C给出以下判断，正确的是()A当1t4时，曲线C表示椭圆B当t4或t1时，曲线C表示双曲线C若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1tD若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t4BCDA错误，当t时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线
8、，则(4t)(t1)0，t1或t4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10，1t；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则t413已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，则|AB|_；若三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C，则点C的轨迹方程为_4x21(x1)将椭圆方程化为标准形式为y21a25，b21，c2a2b24，则A(2，0)，B(2，0)，|AB|4又sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨
9、迹方程为x21(x1)14过双曲线1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为_，因为双曲线方程为1，所以c13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(13，0)，F2(13，0)设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(13，y)(y0)，则1，所以y，即|AF1|又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24即所求距离分别为，15设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解(1)两圆的圆心分别为A(，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r由题意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a4，c，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为y21(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值为2.3