1、导数与函数专练作业(三十四)1(2015湖南衡阳联考)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由解析(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上单调递增，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在x1，)上恒成立，则必有1，且f(1)2a0，a0.(2)f()0，即a30，a4.f(x)x34x23x.令f(x)3x28
2、x30，解得x1，x23.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值为f(1)6.(3)函数g(x)bx的图像与f(x)的图像恰有3个交点，即x34x23xbx恰有3个不等实根，方程x34x23xbx0恰有3个不等实根其中x0是其中一个根，方程x24x3b0有两个不等于零的不等实根b7且b3.2(2015四川遂宁诊断)已知函数f(x)ex(e2.718 28是自然对数的底数)，g(x)ln(x1)(1)若F(x)f(x)g(x)，求F(x)的极值；(2)对任意x0，证明：f(x)g(x1)；(3)对任意x0，都有g
3、(x)成立，求实数a的取值范围解析(1)F(x)exln(x1)，令F(x)ex0x0.当x(1,0)时，F(x)0.所以当x(1,0)时，F(x)单调递减；当x(0，)时，F(x)单调递增从而当x0时，F(x)取得极小值F(0)1.(2)证明：令G(x)exx1，G(x)ex1.当x(0，)时，G(x)0，所以当x(0，)时，G(x)单调递增，G(x)G(0)0(x0)所以exx10，即xln(x1)，所以x1ln(x2)g(x1)f(x)exx1g(x1)当x0时，f(0)1ln2g(1)，所以f(x)g(x1)(3)解：令h(x)(x1)ln(x1)ax，h(x)ln(x1)1a.令h(
4、x)0，解得xea11.当a1时，xea110，所以对所有x0，h(x)0，h(x)在0，)上是增函数所以有h(x)h(0)0(x0)，即当a1时，对任意x0，都有g(x).当a1时，对于0xea11，h(x)0，所以h(x)在(0，ea11)上是减函数，从而对于0xea11有h(x)h(0)0，即(x1)ln(x1)1时，不是对任意x0都有g(x)成立综上，a的取值范围是(，13(2015江西吉安考试)已知函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)是否存在区间(t，t)(t0)，使函数f(x)在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t的取值
5、范围；若不存在，请说明理由；(3)如果对任意的x1，x2e2，)，有|f(x1)f(x2)|k|，求实数k的取值范围解析(1)f(x).f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，f(1)0.a1，f(x)，x0.f(x).当0x0，当x1时，f(x)1时，f(x)0，当x0时，y，由(1)得f(x)在(0,1)上单调递增，由零点存在原理，f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，函数f(x)的图像如图所示函数f(x)在区间(t，t)(t0)上存在极值点和零点，即解得tx2e2，则原不等式f(x2)f(x1)k()f(x2)kf(x1)k函数F(x)f(x)在e2，)上单调递减又F(x)f(x
6、)，F(x)0在e2，)上恒成立klnx在e2，)上恒成立在e2，)上，(lnx)minlne22，k2.4(2015山东青岛检测)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解析(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)设h(x)f(x)g(x)当ba2时，h(
7、x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：x(，)(，)h(x)0h(x)极大值x(，)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当1，且1，即2a6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，1上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h()1.当6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，在区间(，1上单调递增又因h()h(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在区
8、间(，1上的最大值为h()1.5(2015四川绵阳测试)已知函数f(x)(m，n为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)f(x)(其中f(x)为f(x)的导函数)，证明：对任意x0，g(x)0)由已知得f(1)0，解得mn.又f(1)，即n2，mn2.(2)解：由(1)得f(x)(1xxlnx)，令p(x)1xxlnx，x(0，)，当x(0,1)时，p(x)0；当x(1，)时，p(x)0；当x(1，)时，f(x)0，g(x)1e2等价于1xxlnx0，即p(x)单调递增；当x
9、(e2，)时，p(x)0，因此，当x(0，)时，q(x)单调递增，q(x)q(0)0.故当x(0，)时，q(x)xln(1x)0，即1.1xxlnx1e20，g(x)1e2.6(2015福建八县联考)已知函数f(x)ax2bxlnx，a，bR.(1)当ab1时，求函数yf(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0且b2a，试讨论f(x)的单调性；(3)若对b2，1，均x(1，e)使得函数yf(x)图像上的点落在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围解析(1)当ab1时，f(x)x2xlnx，f(x)2x1，f(1)2112.又f(1)121ln12，函数yf(x)的图像在点(1，
10、f(1)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)f(x)2ax(2a).当，即a，即2a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)，(，)综上，当a2时，f(x)的单调递增区间为(，)单调递减区间为(0，)，(，)；当a2时，f(x)在(0，)上单调递减；当2a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)，(，)(3)依题意，对b2，1，x(1，e)使得f(x)0成立，即对b2，1，x(1，e)，ax2bxlnx0成立，即ax2xlnx0在(1，e)内有解，即a在(1，e)内有解，即a()max.令g(x)，则g(x).x(1，e)，g(x)0.g(x)在(1，e)上单调递减又g(1)1，a1.