1、解析几何专练作业(三十二)1(2015河北邢台模拟)已知ABC的内切圆与三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B(，0)，C(，0)，内切圆圆心为I(1，t)(t0)，设点A的轨迹为L.(1)求L的方程；(2)设直线y2xm交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|2时，求m的值解析(1)设点A(x，y)，由题意得|AB|AC|BD|CF|BE|CE|(1)(1)2.根据双曲线定义知点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点E)，L的方程为x2y21，x1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x24mxm210.直线y2xm交x2y21(x1)于不同的两点
2、M，N，方程3x24mxm210的两根均在(1，)内m，且m2.又x1x2，x1x2，|MN|.|MN|2，2.m212.mb0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求PQF1的内切圆半径r的最大值解析(1)直线AB的方程为1，即bxayab0.原点到直线AB的距离为，即3a23b24a2b2.ec2a2.又a2b2c2，由可得a23，b21，c22.故椭圆的方程为y21.(2)F1(，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程
3、为xky，联立直线与椭圆的方程，得(k23)y22ky10.故而SF1PQSF1F2PSF1F2Q|F1F2|y1y2|，将代入，得SF1PQ.又SF1PQ(|PF1|F1Q|PQ|)r2ar2r，所以2r，故r，当且仅当，即k1时，取得“”故PQF1的内切圆半径r的最大值为.3(2015上海闸北期末)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，椭圆C过点(，1)且与抛物线y28x有一个公共的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；(3)P为直线x3上的一点，在第(2)问的条件下，若ABP为等边三角形，求直线l的方程解析(1
4、)由题意得F1(2,0)，c2.又1，得a48a2120，解得a26或a22(舍去)，则b22，故椭圆方程为1.(2)设直线l的方程为yk(x2)联立得方程组消去y并整理，得(3k21)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则|AB|x1x2|.(3)设AB的中点为M(x0，y0)x1x22x0，x0.y0k(x02)，y0.直线MP的斜率为，又xP3，所以|MP|x0xP|.当ABP为正三角形时，|MP|AB|，可得，解得k1.即直线l的方程为xy20或xy20.4已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，右焦点到直线2axby0的距离为.(1)求
5、椭圆C的方程；(2)已知直线xym0与椭圆C交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2y21内，求实数m的取值范围；(3)过点P(0，)的直线l交椭圆C于A、B两点，是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)因为e，所以e2，即a22b2，所以ab，cb.由题意知，所以b1或(舍去)所以a22，b21，故椭圆C的方程为y21.(2)联立消去y可得3x24mx2m220，则16m212(2m22)0，解得m.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x2，y1y2x1x22m2m，所以线段MN的中点的坐标为(，)又MN的中点不
6、在圆x2y21内，所以()2()21，解得m或m.综上可知m或mb0)，y22px(p0)由题意，得，c1，1，即a2，c1，p2.所以椭圆1的方程为1，抛物线2的方程为y24x.(2)证明：设P(1，t)，过点P与抛物线y24x相切的直线方程为ytk(x1)由消去x并整理得y2y40.由0得10，即k2tk10，则k1k21.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1，y2，则x1，x2，直线AB的方程为yy1(xx1)，即y(x1)，即直线AB过定点(1,0)设P到直线AB的距离为d，.a当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
7、C(x3，y3)，D(x4，y4)，由消去y并整理，得k2x2(2k24)xk20，k0时0恒成立|AB|.由消去y并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立|CD|，所以.b当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1，此时，|AB|4，|CD|3，.综上可知，的最小值为.6(2015湖南师大月考)已知两个定点A1(2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值(m0)(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；(2)若m3，过点F(1,0)的直线交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴，y轴分别交于D，E两
8、点记GFD的面积为S1，OED(O为坐标原点)的面积为S2，试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解析(1)设动点M(x，y)，依题意有(m0)，整理得1(x2)，即为动点M的轨迹方程当m0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线；当m(4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当m4时，轨迹是圆；当m(，4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆且点A1(2,0)，A2(2,0)不在曲线上(2)当m3时，曲线C的方程是1(x2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，所以直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2.G(，)设D(xD,0)，DGAB，k1.解得xD，即D(，0)因为GFDOED，所以()2.又因为S1S2，所以|GD|OD|.又因为|，所以不存在直线AB，使得S1S2.