1、11.1 随机事件的概率基础知识 自主学习课时训练题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习1.概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的.(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个称为随机事件A的概率，记作P(A).知识梳理 nAn频率频数频率常数2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B事件A(或
2、称事件A包含于事件B)(或AB)相等关系 若BA且AB _ 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的(或和事件)AB(或AB)包含BAAB并事件交事件(积事件)若某事件发生当且仅当且，则称此事件为事件A与事件B的(或积事件)AB(或AB)互斥事件 若AB为不可能事件(AB)，那么称事件A与事件B互斥 AB 对立事件 若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B_ _ 事件A发生事件B发生交事件互为对立事件P(A)P(B)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率P(E).(3)不可能事件的概率P(F).(4)概
3、率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB).(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A).0P(A)110P(A)P(B)1P(B)知识拓展 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是
4、指两个事件都得发生.()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.()(6)两互斥事件的概率和为1.()思考辨析 考点自测 基本事件的个数有 5315，其中满足 ba 的有 3 种，所以 ba 的概率为 31515.1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则ba的概率是 答案 解析 A.45B.35C.25D.15 2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是 A.必然事件B.随机事件 C.不可能事件D.无法确定 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.答案 解析 3.某射手在一次
5、射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3)0.5.答案 解析 4.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为_.是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件.答案 解析 题型分类 深度剖析 题型一 事件关系的判断例1(1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一
6、个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是 A.B.C.D.答案 解析 (2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 解析 若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”，则 P(A)78，P(B)18，满足 P(A)P(B)1，但 A，B
7、 不是对立事件.(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是 A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡 答案 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.310710(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.(2)判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生
8、的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.思维升华 跟踪训练1 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有 A.0组B.1组C.2组D.3组 答案 解析 题型二 随机事件的频率与概率例2(2016全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1
9、.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；解答 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55.(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险
10、次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.解答(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.解答 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.保费 0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a频率 0.300.250.150.150.10 0.05思维升华(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能
11、性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.跟踪训练2(2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 2001 0000.2.解答(2)估计
12、顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为1002001 0000.3.解答(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解答 与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1001 0000.1.所以，如果顾客购买了甲，
13、则该顾客同时购买丙的可能性最大.题型三 互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率 例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解答 13512512命题点2 对立事件的概率 例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；解答 P(A)11 000，P(B)101 000
14、1100，P(C)501 000 120.故事件 A，B，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券的中奖概率；解答 1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)110501 000 611 000.故 1 张奖券的中奖概率为 611 000.(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解答 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)111 000 1100 9891 000.故 1 张奖券不中
15、特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.思维升华 跟踪训练3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排
16、队等候的概率；解答(2)至少3人排队等候的概率.解答 方法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.典例(15分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.用正难则反思想求互斥事件的概率 思想与方法系列26一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人)x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)1 1.5
17、2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)规范解答 思想方法指导.课时训练1.(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 12345678910111213答案 解析 A.56B.25C.16D.13 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为121356.1312 2.(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白
18、球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为 A.B.C.D.答案 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.中两事件是对立事件.123456789101112133.(2016临安中学模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5 答案 解析“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所求概率P1P(A)0.35.123456789
19、10111213由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.4.(2016杭州模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是 A.互斥但非对立事件B.对立事件 C.相互独立事件D.以上都不对 答案 解析 123456789101112135.(2016蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 A.0.8B.0.5C.0.7D.0.3 由互斥事件概率公式知重量大于
20、40克的概率为10.30.50.2，又0.50.20.7，重量不小于30克的概率为0.7.答案 解析 123456789101112136.从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的卡片的频率是 A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37 答案 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为 1356181153，则所求的频率为 531000.53.故选 A.123456789101112137.在200件
21、产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件.答案 123456789101112138.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是_.(54，43答案 解析 由题意可知0PA1，0PB1，PAPB102a1，04a513a31，1a2，54a32，a4354a43.123456789101112139.在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，
22、然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是_.答案 解析 35个位数字共有 5 种情况，只有当个位数字取 2,4,5 时，得到的数才能被 2 或 5 整除，所以概率为35.1234567891011121310.(2016江苏苏州五中期中)一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_.答案 解析 0.2记事件A，B，C分别是摸出红球，白球和黑球，则A，B，C互为互斥事件且P(AB)0.58，P(AC)0.62，所以P(C)1P(AB)0.42，P(B)1P(AC)0.38
23、，P(A)1P(C)P(B)10.380.420.2.1234567891011121311.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；解答 12345678910111213 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 241000.24，设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100
24、(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，由频率估计概率得P(C)0.24.(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.解答 1234567891011121312.国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；解答 123456789
25、10111213(2)命中不足8环的概率.解答 12345678910111213故 P(B)1P(B)10.780.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足 8 环”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得 P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；解答 12345678910111213(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.解答 12345678910111213方法一取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.所以 P(A1A2A3)1P(A4)1 1121112.方法二 因为A1A2A3的对立事件为A4，