1、考点突破考点突破高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征统计与概率内容相互渗透，背景新颖考点突破热点一 统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计，判断常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生数据处理能力考点突破【例1】(2016全国卷
2、)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：考点突破记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数(1)若 n19，求 y 与 x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n的最小值；(3)假设这
3、100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？考点突破解(1)当 x19 时，y3 800；当 x19 时，y3 800500(x19)500 x5 700.所以 y 与 x 的函数解析式为 y3 800，x19，500 x5 700，x19，(xN)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.(3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易
4、损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800,20 台的费用为 4 300,10台的费用为 4 800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为考点突破1100(3 800704 300204 80010)4 000，若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有90 台在购买易损零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000904 50010)4 050.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件考点突破探究
5、提高(1)本题将分段函数、条形图、样本的数字特征交汇命题，体现了统计思想的应用意识(2)本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义考点突破【训练 1】近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人，其中女性抽多少人？(2)为了研究三高疾病是否与性
6、别有关，请计算出统计量 2，并说明是否有 99%的把握认为三高疾病与性别有关.患三高疾病不患三高疾病总计男630女总计36考点突破解(1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计男24630女121830总计362460在患三高疾病人群中抽 9 人，则抽取比例为 93614，所以女性应该抽取 12143(人)(2)根据 22 列联表，则 2602418612230303624106.635.所以有 99%的把握认为是否患三高疾病与性别有关考点突破热点二 以实际背景为载体考查古典概型从近几年的高考命题来看，高考对概率的考查，一般以实际生活题材为背景，以应用题的形式出现概率应用题侧重于古典概
7、型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解解决古典概型问题的关键在于确定基本事件考点突破【例 2】(2016胶东示范校二模)2015 年国办发20153 号文件的公布让多年来一直期待涨工资的机关事业单位人员兴奋不已某事业单位随机从甲部门抽取 3 人(2 男 1 女)，从乙部门抽取 4 人(2男 2 女)，然后从这 7 人中随机抽取 2 人代表单位去参加市里的相关会议(1)求这 2 人全部来自甲部门的概率；(2)求这 2 人中至少有 1 人是男生的概
8、率考点突破解 将甲部门的 2 名男生分别记为 A，B,1 名女生记为 a，乙部门的2 名男生分别记为 C，D,2 名女生分别记为 b，c，从这 7 人中任选 2人的所有基本事件为(A，B)，(A，a)，(A，C)，(A，D)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，C)，(B，D)，(B，b)，(B，c)，(a，C)，(a，D)，(a，b)，(a，c)，(C，D)，(C，b)，(C，c)，(D，b)，(D，c)，(b，c)，共21 个，且这些基本事件出现的可能性相等(1)记“这 2 人全部来自甲部门”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件有(A，B)，(A，a)(B，a)，共 3 个，故 P
9、(M)32117.考点突破(2)记“这 2 人中至少有 1 人是男生”为事件 N，则事件 N 包含的基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，C)，(A，D)，(A，b)，(A，C)，(B，a)，(B，C)，(B，D)，(B，b)，(B，c)，(a，C)，(a，D)，(C，D)，(C，b)，(C，c)，(D，b)，(D，c)，共 18 个，故 P(N)182167.考点突破探究提高 利用列举法求解基本事件数最容易出的错误是“重”和“漏”，要避免此类错误，首先，要正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，其次，要熟练使用常用的列举法只有有规律地列出基本事件，才能避免“重”和
10、“漏”考点突破【训练 2】(2017南昌调研)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆目前我国主流纯电动汽车按续航里程数 R(单位：千米)分为 3 类，即 A 类：80R150，B 类：150R250，C 类：R250.该公司对这 140 辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型A类B类C类已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030已行驶总里程超过10万千米的车辆数202020考点突破(1)从这 140 辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过 10 万千米的概率；(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取 14 辆车进行车况分析，按表中描述的
11、六种情况进行分层抽样，设从 C 类车中抽取了 n辆车求 n 的值；如果从这 n 辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过 10 万千米的概率考点突破解(1)从这 140 辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过 10 万千米的概率为 P120202014037.(2)依题意 n3020140 145.5 辆车中已行驶总里程不超过 10 万千米的车有 3 辆，记为 a，b，c；5 辆车中已行驶总里程超过 10 万千米的车有 2 辆，记为 m，n.考点突破“从 5 辆车中随机选取两辆车”的所有选法共 10 种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“从 5 辆车中随机选
12、取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过 10 万千米”的选法共 6 种：am，an，bm，bn，cm，cn，则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过 10 万千米的概率 P2 61035.考点突破热点三 概率与统计的综合问题(规范解答)统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算考点突破【例3】(满分12分)(2015安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中
13、样本数据分组区间为40,50)，50,60)，80,90)，90,100考点突破(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50)的概率满分解答(1)解 因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以 a0.006.3 分(2)解 由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4.所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为0.4.5 分考点突破(3)解 受访职工中评分在50,60
14、)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为 B1，B2，8 分从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2.11 分又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率为 P 110.12 分考点突破 抓住关键，准确计算(1)得关键分：如第(1)问中，正确求得 a0.006；第(3)问中列出 10个基本事件，错写或多写，少写均不得分
15、(2)得转化计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，否则不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，转化为古典概型的概率考点突破步骤规范，防止失误抓住得分点的步骤，“步步为赢”求得满分，本题的易失分点：(1)不能利用频率分布直方图的频率求出 a 值；(2)求错评分落在50,60)，40,50)间的人数；(3)没有指出“基本事件总数”与“事件 M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举 10 个基本事件及事件 M 包含的基本事件，导致扣 3 分或 2 分.考点突破第一步：由各矩形的面积之和等于 1，求 a 的值第二步：由样本频率分布估计概率第
16、三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件 M 所包含的基本事件第四步：利用古典概型概率公式计算第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范考点突破【训练3】(2017西安质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)考点突破(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a，从 B班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b，求 ab 的概
17、率解(1)A 班样本数据的平均值为15(911142031)17.由此估计 A 班学生每周平均上网时间 17 小时；B 班样本数据的平均值为15(1112212526)19，由此估计 B 班学生每周平均上网时间为 19 小时，且上网时间较长考点突破(2)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个，分别为 9,11,14，B班的样本数据中不超过 21 的数据 b 也有 3 个，分别为 11,12,21，从A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个共有 9 种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中 ab 的情况有(14,11)，(14,12)两种，故 ab 的概率 P29.