1、绝密启用前 广东省揭阳市20112012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时l20分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁,考试结束
2、后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合，则 A B C D2已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为 A. B. C. D. 3已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为A. 4 B. C.6 D. 4双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为A. 1 B. C. D.25“”是 “函数有零点”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（第6题图）A.
3、B. C. D. 7已知向量，且，若变量x,y满足约束条件 ，则z的最大值为A.1 B.2 C.3 D.48已知函数,则不等式的解集为A. B. C. D.二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9. 设 是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数 的值为 . 10设是等差数列的前项和，且，则= .11近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一（第11题图）是空气中的pm2.5（直径小于等于24小时平均浓度(毫克/立方米)2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对
4、“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标 12甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有 种（用数字作答） 13某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为 （第13题图）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题) 直线被圆 所截得的弦长为 . 15(几何证明选讲选做题)如图，从圆外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，,则的长为 （
5、第15题图）三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数(1) 求函数的最小正周期；(2) 求函数的最大值和最小值；(3) 若，求的值17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. （1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品
6、的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望18. （本小题满分14分）已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围. 19（本小题满分14分）如图边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将BEF剪去，将AED、DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图示.
7、（1）求证：;（2）求三棱锥的体积； （3）求DE与平面PDF所成角的正弦值 第19题图20（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由21（本小题满分14分）已知，（，为常数）（1）若，求证：数列是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：；（3）若，试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明揭阳市20112012学年度高中三年级学业水平考试数学试题(理科
8、)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一选择题：BCBA ACCD解析：1,，故选B.2依题意知：，从而,选C.3由是定义在上的奇函数得，,选B.4双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，可得焦点到它的渐近线的距离为，选A.5若，则函
9、数必有零点，反之函数有零点，未必为2.故选A.6由余弦定理得,选C.7 ，点的可行域如图示，当直线过点（1,1）时，Z取得最大值，选C.8在同一坐标系内作出函数和的图象如图，利用数形结合易得答案选D.二填空题：9. 1；10. 36；11. 27；12. 30；13. 14. ；15. .解析：10易得.11该市当月“pm2.5”含量不达标有（天）;12间接法.（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有种，两门相同的有种，至少一门相同有（种）13由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为，高为，则，（当时“=”成立）或=，令得，当时，,当时，故当时，有最大值，14把直线和圆的参数方程化为普通方
10、程得，于是弦心距弦长.15 三解题题：16解：（1）-2分函数的最小正周期-3分（2）函数的最大值和最小值分别为-5分（3）由得，-6分-7分-9分，-12分17解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-3分样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为-4分二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；-5分三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为-6分1240.50.30.2（2）的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得,-8分可得的分布列如右：-10分其数学期望(元)
11、 -12分18解：（1）且是的一个极值点，-2分-4分由得或，函数的单调增区间为，；-6分由得，函数的单调减区间为，-8分（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值，=，-10分时，恒成立等价于-12分即。-14分19（1）证明：依题意知图折前,-2分 平面-3分又平面 -4分(2)解法1：依题意知图中AE=CF= PE= PF=，在BEF中,-5分在中，-7分-8分【(2)解法2：依题意知图中AE=CF= PE= PF=，在BEF中,-5分取EF的中点M，连结PM则,-6分-7分-8分】 (3) 由（2）知 又 平面-10分为DE与平面PDF所成的角，-11分在中，
12、,-12分-14分20.解：（1）设点M、N的坐标分别为，（）点P的坐标为，则，由得，-（）-2分由得 -3分代入（）得-5分动点P的轨迹C的方程为（）-6分（2）曲线即，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB, 则-8分当最小时，最小.-9分点T在轨迹C上，设点（）-11分当，即时，有最小值，-12分当时，在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得最小，.-14分21证明：(1) ，-1分 ，则 -3分数列是以为首项，以2为公比的等比数列-4分（2）由（1）知，化简得，要证， 只需证， -6分证法一：当，当时，-7分， -8分，-9分【证法二：用数学归纳法证明，当时，结论显然成立； -5分假设当时结论成立，即,当n=k+1时, ， -7分当时结论也成立综合、知-9分】（3）当时，即 ，-11分又， 单调递增， 即的值在2与3之间-14分