1、第3讲 分类与整合的思想 第一编讲方法思想方法解读分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合1 热点题型探究 PART
2、ONE 热点 1 公式、定理的分类整合法例 1 (1)(2019 开 封 市 高 三 第 三 次 模 拟)已 知 函 数 f(x)sin(x)0，|2，且 x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且x1136，1736，|f(x)|1，故 g(x)在0,1上单调递增，故 g(x)12，t12 12，52.解得 t(2,3综上，t0,3(3)已知数列an的前 n 项和Sn满足 Sn2an1(nN*)，且 a11.则数列an的通项公式是_答案 an1，n1，1232n2，n2解析 当 n1 时，由已知可得 a12a2，即 a212a112.当 n2 时，由已知 Sn2an1(nN*
3、)，可得 Sn12an(n2，nN*)，两式相减得 an2an12an2an13an，即an1an 32，所以数列an从第二项开始成一个首项为 a212，公比为32的等比数列，故当 n2，nN*时有 an1232n2.所以 an1，n1，1232n2，n2.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标第二步：根据公式、定理确定分类标准运用公式、定理对分类对象进行区分第三步：分类解决“分目标”问题对分类出来的“分目标”分别进行处理第四步：汇总“分目标”将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理
4、1(2019新疆维吾尔族自治区检测)已知 xR，sinx3cosx 5，则 tan2x()A.43B.34C34D43答案 A解析 由 sinx3cosx 5及 sin2xcos2x1，得(53cosx)2cos2x1.即 5cos2x3 5cosx20，cosx2 55 或 cosx 55，所以当 cosx2 55时，sinx 55，tanx12，tan2x21211443；当 cosx 55 时，sinx2 55，tanx2，tan2x221443.所以 tan2x43，故选 A.2(2019云南高三第一次统考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC23，BD 平
5、分ABC 交 AC 于点 D，BD2，则ABC的面积的最小值为()A3 3B4 3C5 3D6 3答案 B解析 设 A，则 03，C23 3，ABC23，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，BD2，ABDCBD3.在ABD 中，ADB323，由正弦定理可得ABsin23 BDsin，AB2sin23 sin2sin3sin.在CBD 中，CDB3，由正弦定理可得BCsin3BDsin3，BC2sin3sin3.ABC 的面积 S12ABBCsin23 34 2sin3sin2sin3sin3 32 112cos2 32 sin214cos2 34 sin214 32 22cos2 3sin2
6、3sin2cos21 32 263sin2cos21 32 262sin26 103，62656，12sin26 1，当 sin26 1 时，即 6时，ABC 的面积 S 最小，最小值为 32(26)4 3，故选 B.3已知锐角ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b是12，2 的等比中项，c 是 1,5 的等差中项，则 a 的取值范围是_答案(2 2，10)解析 因为 b 是12，2 的等比中项，所以 b1221；因为 c 是 1,5 的等差中项，所以 c152 3.因为ABC 为锐角三角形，当 a 为最大边时，有1232a20，a3，13a，解得 3a 10；当
7、c 为最大边时，有12a2320，a13，a3，解得 2 2a3.由得 2 2a 10，所以实数 a 的取值范围是(2 2，10)热点 2 位置关系的分类整合法例 2(1)(2019兰州一模)设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0,19，)B(0，39，)C(0,14，)D(0，34，)答案 A解析 如图，设 DE 是椭圆的短轴，利用动态分析，或过 A，D，B 作圆F，根据圆周角定理，易知AMBADB.若 C 上存在点 M 满足AMB120，则ADB120，所以|OB|OD|tanODBtan60 3.当焦
8、点在 x 轴上时，|OB|3，|OD|m，3m 3，解得 00 时，1a0，只需目标函数截距最大若121a2，最优解为 A43，43，z4343a163，a3，符合题意；若1a12，即 0a2，最优解为 B3，12，z312a163，a143，不符合题意，舍去当 a0，只需目标函数截距最小若 01a12，即 a2，最优解为 C(2，2)，z22a163，a113，符合题意；若121a1，即2a1，即1a0 得 t212，又t0，xB3t22(3，3)综上，点 B 的横坐标的取值范围为(3，3热点 3 含参数问题的分类整合法例 3(2019石家庄市第二中学高三模拟)函数 f(x)1eexax1e
9、(a 为常数)的图象与 x 轴有唯一公共点 M.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若 a2，存在不相等的实数 x1，x2，满足 f(x1)f(x2)，证明：x1x20，f(x)单调递增；若 a0，由 f(x)0 得 x1ln a，当 x(，1ln a)时，f(x)0，f(x)单调递增当 1ln a0，即 a1e时，f(x)的极小值为 f(0)0，曲线 f(x)与 x 轴只有一个公共点，符合题意；当 1ln a0，即 a1e时，由基本结论“x0 时，exx2”，a2a1ln a.知 f(a2)ea1a(a2)1e(a1)2a22a10，又 f(1ln a)f(0)0.由零点存在定理知，此时
10、的函数 f(x)在区间(1ln a，a2)上有一个零点，这与函数 f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；当 1ln a0，即 0a1e时，设 m(a)1ln a 1ae，m(a)ae1a2e m1e 10，即 1ln a 1ae，f 1ae aae 1e0.又 f(1ln a)0)(1)设 F(x)gxfx，讨论函数 F(x)的单调性；(2)若 0g(x)在(0，)上恒成立解(1)F(x)gxfxax2x1ex，F(x)ax22a1xexaxx2a1aex.若 a12，F(x)x22ex 0，F(x)在 R 上单调递减若 a12，则2a1a0，当 x2a1a时，F(x)0，当 0 x0，F(x)在(，0)，2a1a，上单调递减，在0，2a1a上单调递增若 0a12，则2a1a0，当 x0 时，F(x)0，当2a1ax0.F(x)在，2a1a，(0，)上单调递减，在2a1a，0 上单调递增(2)证明：00 恒成立h(x)在(0，)上单调递增又h(0)0，x(0，)时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，ex12x2x10，ex12x2x1，ex12x2x1ax2x1，f(x)g(x)在(0，)上恒成立本课结束