1、3.1 数学归纳法课时过关能力提升1.某个命题与正整数有关,若当 n=k(kN+)时该命题成立,则可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知当 n=5 时该命题不成立,则可推得()A.当 n=6 时,该命题不成立B.当 n=6 时,该命题成立C.当 n=4 时,该命题成立D.当 n=4 时,该命题不成立解析:依题意,当 n=4 时,该命题成立,则当 n=5 时,该命题成立,而当 n=5 时,该命题不成立,却无法判断当 n=6 时该命题成立还是不成立.故选 D.答案:D2.用数学归纳法证明 1+2+22+25n-1是 31 的整数倍时,当 n=1 时,左边式子等于()A.1+2B.1+2+22
2、C.1+2+23D.1+2+22+23+24解析:当 n=1 时,左式=1+2+22+251-1=1+2+22+23+24.答案:D3.下列代数式中(其中 kN+)能被 9 整除的是()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析:(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除.(2)假设当 k=n(nN+,n1)时命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除.则当 k=n+1 时,3(2+7n+1)=21(2+7n)-36 也能被 9 整除.这就是说,当 k=n+1 时,命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7k)能被 9 整除对任何 kN+都成立
3、.答案:D4.对于不等式 N+),某同学应用数学归纳法证明的过程如下:(1)当 n=1 时 不等式成立(2)假设当 n=k(kN+,且 k1)时,不等式成立,即 则当 n=k+1 时 所以当 n=k+1 时,不等式也成立.根据(1)和(2)可知,对任何 nN+都成立 则上述证法 A.过程全部正确B.n=1 验证不正确C.归纳假设不正确D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确答案:D5.一个与自然数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,由 n=k 时命题成立推得 n=k+2 时命题也成立,则()A.该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与
4、 k 取什么值无关D.以上答案都不对解析:由题意,得当 n=2 时成立,可推得 n=4,6,8,都成立,因此对所有正偶数都成立.答案:B6.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)=f(k)+.答案:1807.已知 f(n)=1 N+),用数学归纳法证明f(2n)时 等于 解析:f(2k+1)=1 f(2k+1)-f(2k)答案:8.用数学归纳法证明:xn-yn(n 为正奇数)能被 x-y 整除时,假设当 n=k(k 为正奇数)时,命题成立,再证当n=时,命题也成立.答案:k+29.证明:凸 n 边形的内角和 f(n)=(n-2)180(nN+,且 n3).
5、证明(1)当 n=3 时,f(3)=180,(3-2)180=180,命题成立.(2)假设当 n=k(kN+,k3)时,命题成立,即凸 k 边形的内角和 f(k)=(k-2)180.当边数为(k+1)时,如图,把(k+1)边形分割为一个 k 边形和A1AkAk+1,因此凸(k+1)边形的内角和为凸 k边形内角和加上A1AkAk+1的内角和.得 f(k+1)=f(k)+180=(k-2)180+180=(k+1)-2180.故当 n=k+1 时命题也成立.由(1)(2)得,当 n3 时,凸 n 边形的内角和为 f(n)=(n-2)180.10.设 aN+,nN+,求证:an+2+(a+1)2n+
6、1能被 a2+a+1 整除.证明(1)当 n=1 时,a3+(a+1)3=a+(a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1),结论成立.(2)假设当 n=k 时,结论成立,即 ak+2+(a+1)2k+1能被 a2+a+1 整除,则当 n=k+1 时,有a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=aak+2+(a+1)2(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为 ak+2+(a+1)2k+1,a2+a+1 均能被 a2+a+1 整除
7、,又 aN+,故 a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1能被 a2+a+1 整除,即当 n=k+1 时,结论也成立.由(1)(2)可知,原结论成立.11.设数列an的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,.(1)求 a1,a2;(2)猜想数列Sn的通项公式,并利用数学归纳法给出证明.分析第(1)题代入 n=1 和 n=2 即可求出.第(2)题先根据前 n 项猜出通项公式,再利用数学归纳法给予证明.解(1)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 的一根为 S1-1=a1-1,代入,得(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2 于是(-)(-)解得 a2 (2)由题意,知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即 当 n2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式,得 Sn-1Sn-2Sn+1=0.由(1),得 S1=a1 S2=a1+a2 由可得 S3 由猜想可得,Sn .下面用数学归纳法证明这个结论.当 n=1 时,a1=S1 显然成立.假设当 n=k(kN+,且 k1)时结论成立,即 Sk 当 n=k+1 时,由知 Sk+1 -得 Sk+1 -故当 n=k+1 时式子也成立.综上,Sn 对于所有正整数n 都成立.
