1、2022届平邑一中西校高二月考试题（考查内容空间向量与立体几何一选择题（共8小题）1已知空间两点，1，2，下列选项中的与共线的是A，0，B，1，C，D，2，2在空间四边形中，点在上，且，为的中点，则ABCD3已知平面内的三点，0，、，1，、，0，平面的一个法向量为，且与不重合ABC与相交但不垂直D以上都不对4已知空间向量，0，1，且，则向量与的夹角为ABCD5已知，4，3，若、三向量共面，则实数等于A1B2C3D46若，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是A，B，C，D，7在正方体中，直线与平面所成的角为ABCD8已知矩形，为平面外一点，且平面，分别为，上的点，且，则ABC1
2、D二多选题（共4小题）9已知直线、的方向向量分别是，若，且，则的值可以是AB7C1D10已知直线、的方向向量分别是，4，若且，则的值可以是ABC1D311已知空间三点，0，2，0，则下列说法正确的是ABCD，12如图，平面，则AB平面C二面角的余弦值为D直线与平面所成角的正弦值为三填空题（共4小题）13在平行六面体中，设，用、作为基底向量表示14已知，三点不共线，为平面外一点，若向量，且点与，共面，则实数15如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为16四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，则与面所成角的正弦值为四解答题（共6小题）17已知空间三点，2
3、，1，（1）求的面积；（2）若向量，且，求向量的坐标18如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，为中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19如图所示，在平行六面体中，分别在和上，且，（1）证明：、四点共面（2）若，求20如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小21如图，在四面体中，分别是线段，的中点，（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值22如图1，四边形是等腰梯形，为的中点，将沿折起，如图2，点是棱上的点（1）若为的中点，证明：平面平面；（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于参考答案与试题解析一选择题（共8小题）
4、1已知空间两点，1，2，下列选项中的与共线的是A，0，B，1，C，D，2，解：由点，1，2，所以，1，对于，0，不满足，所以与不共线；对于，1，不满足，所以与不共线；对于，不满足，所以与不共线；对于，2，满足，所以与共线故选：2在空间四边形中，点在上，且，为的中点，则ABCD解：由点在上，且，所以，由为的中点，所以，所以故选：3已知平面内的三点，0，、，1，、，0，平面的一个法向量为，且与不重合ABC与相交但不垂直D以上都不对解：点，0，1，0，1，0，设平面的一个法向量为，则，且；即，令，则，1，；它与的一个法向量共线，且、不重合，故选：4已知空间向量，0，1，且，则向量与的夹角为ABCD解
5、：，解得；又，1，且，与的夹角为故选：5已知，4，3，若、三向量共面，则实数等于A1B2C3D4解：向量、共面，则，其中，；则，3，解得，故选：6若，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是A，B，C，D，解：对于中、，中、，中、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于，、，满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底故选：7在正方体中，直线与平面所成的角为ABCD解：如图建立空间直角坐标系，设棱长为1，是平面的法向量，1，0，直线与平面所成的角为所以故选：8已知矩形，为平面外一点，且平面，分别为，上的点，且，则ABC1D解：分别以、为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设
6、，0，0，所以，所以，所以，所以故选：二多选题（共4小题）9已知直线、的方向向量分别是，若，且，则的值可以是AB7C1D解：直线、的方向向量分别是，且，且，解得，或，或故选：10已知直线、的方向向量分别是，4，若且，则的值可以是ABC1D3解：直线、的方向向量分别是，4，且，解得，或，或故选：11已知空间三点，0，2，0，则下列说法正确的是ABCD，解：，0，2，0，2，0，故，故选：12如图，平面，则AB平面C二面角的余弦值为D直线与平面所成角的正弦值为解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，0，2，1，0，2，所以，因为，则与不垂直，故选项错误；因为为平面的法向量，又，则，
7、又直线平面，所以平面，故选项正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，故，由题意，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，故，故选项正确；因为，故选项错误故选：三填空题（共4小题）13在平行六面体中，设，用、作为基底向量表示解：平行六面体中，如图所示：则故答案为：14已知，三点不共线，为平面外一点，若向量，且点与，共面，则实数解：，三点不共线，为平面外一点，向量，且点与，共面，解得实数故答案为：15如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为解：如图建立空间直角坐标系，则，0，0，0，2，0，设面的法向量为，0，0，0，由可得，1，则与平面所成角的正弦值为，故答案
8、为：16四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，则与面所成角的正弦值为解：四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，3，3，2，2，0，3，设平面的法向量，则，取，得，0，与面所成角的正弦值为：故答案为：四解答题（共6小题）17已知空间三点，2，1，（1）求的面积；（2）若向量，且，求向量的坐标解：（1）设向量，的夹角为，由已知，（2），即，即，即或18如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，为中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值解（1）证明：平面，又正方形中，平面，又平面，是的中点，平面（2）以点为坐标原点，分别以直线，为
9、轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：，设平面的法向量为，则，令，得到，又，且平面，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为19如图所示，在平行六面体中，分别在和上，且，（1）证明：、四点共面（2）若，求证明：平行六面体中，且平面平面，（3分），同理，故为平行四边形，、四点共面（6分）（2）解：如图所示：，即，20如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小（1）证明：由题意知、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又因为，所以，0，1，0，因为，所以，所以平面；（2）解：由（1）知平面的法向量为，0，0，1
10、，平面与的法向量，令，1，所以平面与平面的夹角的大小为21如图，在四面体中，分别是线段，的中点，（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值解：（1）证明：，分别是线段，的中点，且，又，又，即，又，且，均在平面内，平面，又，且，均在平面内，平面，平面，又在平面内，平面平面；（2）由（1）可知，为二面角的平面角，即，过点作，如图，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，1，1，设平面的一个法向量为，则，可取；设平面的一个法向量为，则，可取；如图可设二面角的平面角为锐角，则，即二面角的余弦值为22如图1，四边形是等腰梯形，为的中点，将沿折起，如图2，点是棱上的点（1）若为的中点，证明：平面平面；（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于解：（1）证明：由题意，且，故四边形是平行四边形，又，是正三角形，四边形是菱形，取的中点，连接，易知是正三角形，则，又，平面，取的中点，连接，则，即，四点共面，又，则，又，平面，又在平面内，平面平面；（2），又且，则可以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，又，则可取，由题意，解得，故，即点在线段的三分等点处
