1、海南省海口市2013年高考模拟试题(二)数学（理科）注意事项：1本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效2本试卷满分150分，考试时间120分钟第卷 选择题一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1设全集合，集合，则集合 A B C D 2已知命题：中，命题：是钝角三角形，则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分
2、也不必要条件3复数的共轭复数在复平面上对应的点在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4若，则下列不等式：；恒成立的是A B CD5已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数 的零点为，则下列不等式中成立的是 A B. C D6设，则A B C D7过双曲线的左焦点作垂直于双曲线渐近线的直线，以右焦点为圆心，为半径的圆和直线相切，则双曲线的离心率为A B C D（第8题图）8设偶函数（的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，则的值为 A B C D9某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（第9题图）（第10题图）A B C D10海口市某次考试有10000
3、名考生，现从中随机抽取100名考生的成绩，作为样本，执行如上图所示的程序框图，输入，输出的结果，若总体服从正态分布，试估计该次考试中10000名考生的成绩不小于5分的人数为A人 B人C人 D人（参考数据：若，则； ；）11已知球的半径，线段上一点满足，过且与成 角的平面截球的表面得到圆，三棱锥的底面内接于圆，顶点在球的表面上，则三棱锥体积的最大值为 A B C D12已知函数在处的切线斜率为，则的图象和直线与轴所围成的图形的面积是A B C D第卷 非选择题二填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置）13的常数项等于_ 。14已知区域，向区域内随机投一点，点
4、落在区域内的概率为 . 15在中，角，所对的边分别是，若,且 ,则_16 已知抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，若四边形的面积为，则抛物线的方程为_ 三解答题：（本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，。（）求；（）求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和。18（本小题满分12分）2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。环境空气质量指数（AQI）技术
5、规定（试行）依据AQI指数高低将空气污染级别分为：优，指数为050；良，指数为51100；轻微污染，指数为101150；轻度污染，指数为151200；中度污染，指数为201250；中度重污染，指数为251300；重度污染，指数大于300下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数与当天的空气水平可见度（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果， 表1：AQI指数与当天的空气水平可见度（千米）情况AQI指数空气可见度（千米）表2：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计AQI指数频数361263（）设变量，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；（）小
6、王在记录表2数据的观测点附近开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量影响很大。假设每天空气质量的情况不受前一天影响。经小王统计：AQI指数不高于时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在至时，饭馆平均每天净利润约元，AQI指数大于时，饭馆每天要净亏损200元（）将频率看作概率，求小王在连续三天里饭馆净利润约1200元的概率；（）计算该饭馆一月份每天收入的数学期望.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，）19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，/，平面平面，（）求证：平面平面；（）若直线与平面所成的角的正弦值为 ，求二面角的平面角的余弦值（第19题图）20（本小题满分12分）定义：若两个椭
7、圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的 如图，椭圆与椭圆 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点. 椭圆：的长轴长是4，椭圆：短轴长是1，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点，（）求椭圆，的方程；（）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值. （第20题图）21（本小题满分12分）设函数（）证明：时，函数在上单调递增；（）证明：恒成立四选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲切线与圆切于点，圆内有一点满足，的平分线交圆于，延长交圆于，延长交圆于，连接（）证明：
8、/；（）求证：（第22题图）23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于，两点，点的直角坐标为，若，求直线的普通方程24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数 （）若，求不等式的解集；（）若方程有三个不同的解，求的取值范围2013年海口市高考模拟测试数学试题（理科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DACBADBDACBA三、解答题：13 14 15 16三、解答题17解：（）； 3分（）因为，所以有成立两式相
9、减得：，所以，即所以数列是以5为首项，公比为2的等比数列。 7分（）由（）得：，即，则设数列的前项和为，则两式相减得: 所以所以数列的前项和，整理得：。 12分18解：（）由，则，关于的线性回归方程是 8分（）（）由表2知AQI指数不高于的频率为0.1，AQI指数在至的频率为0.2，AQI指数大于的频率为0.7，设“饭馆某天收入约700元”为事件，“饭馆某天收入约400元”为事件，“饭馆某天亏损约200元”为事件，若将频率看作概率，则，.则“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率： 8分（）由（），设饭馆每天的收入为，则的分布列为 10分则的数学期望为. 12分19法一（）取中点，连接，则，
10、四边形是平行四边形，/直角和直角中，直角直角，易知 2分平面平面，平面平面 平面， 4分平面. 5分平面平面. 6分（）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由，知， 9分作于，由，知平面，是二面角的平面角. 10分，而，即二面角的平面角的余弦值为. 12分法二：（）平面平面，平面平面，平面又，故可如图建立空间直角坐标系 2分由已知，（），平面. 4分平面平面 6分（）由（），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，即 8分设平面的一个法向量为，由，令，则 10分， 11分显然二面角的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦值为. 12分20（）设椭圆的半焦距为，椭圆的. 由已知，. 椭圆与椭
11、圆的离心率相等，即，即， 3分即， 4分椭圆的方程是，椭圆的方程是 6分（）显然直线的斜率不为，故可设直线的方程为：。联立：，得，即 7分， 8分的高即为点到直线的距离. 9分的面积，等号成立当且仅当，即时，即的面积的最大值为. 12分21（）证明：，则， 1分，.在单调递增 3分，即， 5分从而在上单调递增；. 6分（）证明：要证，只需证，即，证明如下：设，则， 8分已知当时，单调递减；当时，单调递增.在上的最小值为，即， 10分又由（），当且时，即不等式恒成立. 12分四选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22（）证明：切圆于，又，又，/ 5分（）证明：连接，由，及，知，同理有， 10分23. （）由，得，曲线的直角坐标方程是，即 4分（）设，由已知，注意到是直线参数方程恒过的定点， 联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程得：，整理得：， 6分，与联立得：，直线的参数方程为，（为参数）或，（为参数）. 8分消去参数得的普通方程为或 10分24. （）时，当时，不合题意；当时，解得；当时，符合题意. 3分综上，的解集为 5分（）设，的图象和的图象如右图： 7分易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而. 10分
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