1、函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性 偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图像特征关于y轴对称关于原点对称提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件(2)若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)01.f(x)为偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)01.
2、2函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数f(x)的周期1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上
3、具有相反的单调性(4)若yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；若yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)2周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)；(2)若f(xa)，则T2a(a0)；(3)若f(xa)，则T2a(a0)3函数的图像的对称性(1)函数yf(x)，若其图像关于直线xa对称(a0时，f(x)为偶函数)，则f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；f(2ax)f(x)(2)函数yf(x)，若其图像关于点(a,0)中心对称(a0时，f(x)为奇函数)，则f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；
4、f(2ax)f(x)(3)函数yf(x)，若其图像关于点(a，b)中心对称，则f(ax)f(ax)2b；f(2ax)f(x)2b；f(2ax)f(x)2b.(4)函数f(x)与g(x)的图像关于直线xa对称，则g(x)f(2ax)(5)函数f(x)与g(x)的图像关于直线ya对称，则g(x)2af(x)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a
5、0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1下列函数中为偶函数的是()Ayx3Byx2Cy|ln x|Dy2xBA为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.2f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.1ff4221.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集为_(2,0)(2,5由图像可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)
6、0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5 考点一函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图像法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇典例1(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)C令F1(x)f(x)g(x)，则F1(x)f(x)
7、g(x)f(x)g(x)F1(x)，f(x)g(x)为奇函数，故A错误令F2(x)|f(x)|g(x)，则F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x)，F2(x)为偶函数，故B错误令F3(x)f(x)|g(x)|，则F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F3(x)为奇函数，故C正确令F4(x)|f(x)g(x)|，则F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)，F4(x)为偶函数，故D错误(2)解由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数由得定义域为
8、(1,0)(0,1)，关于原点对称，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数点评：(1)本例T(2)第小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键(2)yln，ylg(x)都是奇函数1下列函数既是奇函数又是增函数的是()Ayx21ByCyDyx|x|D对于A，f(x)(x)21x21f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函
9、数，排除A.对于B，函数的定义域为(，1)(1，)，函数为非奇非偶函数，排除B.对于C，函数是奇函数，但在定义域(，0)(0，)上不是增函数，排除C.对于D，f(x)x|x|x|x|f(x)，函数为奇函数，又yx|x|，则函数为增函数，故选D.2设函数f(x)，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数Df(|x|)f(x)是偶函数Df(x)，则f(x)f(x)f(x)是奇函数f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 考点二函数奇偶性的应用 已知函数奇偶性可以解决的三个问题利用函数的奇偶性求值典例21(1)(
10、2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.(2)(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.(1)3(2)2(1)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f (ealn)8，aln ln 83ln 2，a3.(2)f(a)f(a)ln(a)1ln(a)1ln(1a2a2)22.f(a)2f(a)242.点评：本例T(2)中含
11、有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)f(x)的值，再求所求求函数解析式 典例22(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1D当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选D.点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将x转化到已知区间上，从而求出f(x)，然后利用奇偶性求f(x)利用奇偶性求参数的值典例23若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.1法一：(定义法)因为函数f(x)在定义域上为奇函数，所以f(x)f(x)，即，化简得(k21)(22x1)
12、0，即k210，解得k1，经检验k1时，函数f(x)为奇函数法二：(特值法)因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，即，即.整理得k21，解得k1.经检验，当k1时，函数f(x)为奇函数点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(x)f(x)(奇函数)或f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)0求解，偶函数一般利用f(1)f(1)求解用两种方法求得参数后，一定要注意验证1函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(log2 )等于()AB9 C8DC由f(0)40t0得t1.则f(log2 )f(log2 3)f(log2 3
13、)(4log2 31)2log2 918.故选C.2已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)_.0设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.3函数f(x)log2为奇函数，则实数a_.1函数f(x)log2为奇函数，f(x)f(x)0.即log2log20，即log20.1，则1a2x21x2，a21，即a1.当a1时，f(x)log2，则f(x)的定义域为x|x0且x1，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a1时，f(x)log2，定义域为x|1x1且x0，满足题意，
14、a1. 考点三函数的周期性、图像的对称性及应用 1.函数周期性的判断与应用(1)判断：判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：函数的周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，利用周期性可把自变量变大或变小2函数图像的对称性的判断与应用(1)判断：函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图像关于直线x(ab)对称(2)应用：转化自变量的值或与函数的奇偶性配合得到函数的周期性典例3(1)(2020南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4x)f(x)，当0x2时，f(x)2x2x，则f(5)(
15、)A3B3 C7D7(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x1)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 021)_.(1)D(2)1 011(1)法一：(利用对称性)：由f(4x)f(x)得函数f(x)的图像关于直线x2对称，则f(5)f(1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)f(1)f(1)(2121)7，故选D.法二：(利用等式转化)：由f(4x)f(x)得f(5)f4(1)f(1)f(1)(231)7.故选D.(2)由f(x)f(x1)得f(x2)f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，又当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f
16、(1)1.f(0)f(2)f(4)f(2 020)0，f(1)f(3)f(5)f(2 021)1，f(0)f(1)f(2)f(2 021)1 011.点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 021)f(2 019)的值为()A0B4 C2D2A当x0时，f(x2)，所以f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期所以f(2 021)f(2 021)f(1)log2 21，f(2 019)f(3)1，所以f(2 021)f(2 019)0.故选A.2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(1)f(2)f(3)f(2 021)()A2 021B0 C1D1C由f(x2)f(x)得f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数所以f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)1，f(4)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2 021)505f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)1，故选C.