1、9.4 向量应用 第9章 平面向量 学 习 任 务核 心 素 养 1会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题2会用向量方法解决某些简单的几何问题(重点、难点)通过学习向量的应用，提升数学建模和数学运算核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点 1设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 的夹角为 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量的哪些知识？2 物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？知识点 向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应
2、用 速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(3)向量在平面解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ABC 是直角三角形，则有ABBC0()(2)若ABCD，则直
3、线 AB 与 CD 平行()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多()提示(1)可能ACCB0 或BAAC0，故错误(2)ABCD，AB，CD 亦可能在一条直线上，故错误(3)WFs|F|s|cos，故错误 答案(1)(2)(3)2已知ACB，ABa，ACb，且 ab0，则ABC 的形状为()A钝角三角形B直角三角形 C锐角三角形D不能确定 答案 A 3已知 F(2，3)作用一物体，使物体从 A(2，0)移动到B(4，0)，则力 F 对物体作的功为_ 答案 4合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 向量在物理中的应用【例 1】(对接教材 P38 例 1)如图所示，在重 3
4、00 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小 解 如图，作平行四边形 OACB，使AOC30，BOC60 在OAC 中，ACOBOC60，OAC90|OA|OC|cos 30300 32 150 3(N)，|OB|OC|sin 3012300150(N)故与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 N 1解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形
5、，将物理量之间的关系抽象为数学模型 跟进训练 1已知两恒力 F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点 B(7，0)(1)求 F1，F2 分别对质点所做的功(J)；(2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功(J)解(1)AB(13，15)，W1F1AB(3，4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2AB(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)力 F1，F2 对质点所做的功分别为99 J 和3 J(2)WFAB(F1F2)AB(3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)1171510
6、2(J)合力 F 对质点所做的功为102 J 类型 2 向量在平面几何中的应用【例 2】如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC的中点，求证：AFDE 解 法一：设AD a，ABb，则|a|b|，ab0，又DE DA AEab2，AFABBFba2，所以AFDE ba2 ab2 12a234abb22 12|a|212|b|20，故AFDE，即 AFDE 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF(2，1)，DE(1，2)因为AF DE(2，1)(1，2)220，所以AF DE，即AFDE 向量法证明
7、平面几何问题的方法(1)向量的线性运算法 选取基底 把待证问题用基底线性表示 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法 建立适当的坐标系 把相关量坐标向量化 利用向量的坐标运算找相应关系 把向量问题几何化 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用 跟进训练 2已知在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的中点，BE，CF 交于点 P求证：(1)BECF；(2)APAB 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)(1)BE(1，2)，CF(2，1)
8、BECF(1)(2)2(1)0，BECF，即 BECF(2)设点 P 坐标为(x，y)，则FP(x，y1)，FC(2，1)，FPFC，x2(y1)，即 x2y2，同理，由BPBE，得 y2x4，由x2y2，y2x4，得x65，y85，点 P 的坐标为65，85|AP|6528522|AB|，即 APAB 类型 3 平面向量的综合应用【例 3】已知在 RtABC 中，C90，ABAC9，tan A43，P 为线段 AB 上的点，且CPx CA|CA|y CB|CB|，则 xy 的最大值为_ 3 在 RtABC 中，由ABAC9，得 ABACcos A9，因为 RtABC 中，C90，tan A4
9、3，所以 cos A35，所以 ABAC15，所以 AB5，AC3，BC4 又 P 为线段 AB 上的点，且CPx3CAy4CB，故x3y412x3y4，即 xy3，当且仅当x3y412，即 x32，y2 时取等号 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.跟进训练 3 在梯形 ABCD 中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，且BPBC，DQ 18DC，则APBQ 的最大值为()A2 B32 C34 D98 D 因为 ABCD，CD
10、1，ABBC2，BCD120，所以 ABCD 是直角梯形，作 CMAB 交 AB 于 M 点，则 CM 3，BCM30，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为BPBC，DQ 18DC，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD上，则 18，1，B(2，0)，P(2，3)，Q18，3，所以APBQ(2，3)182，3 5 14418 令 f()5 14418且 18，1，由对勾函数性质可知，当 1 时可取得最大值，则 f()maxf(1)51441898当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1若AB3a，CD 5a，且|AD|BC|
11、，则四边形 ABCD 是()A平行四边形B菱形 C等腰梯形D直角梯形 C 因为AB3a，CD 5a，所以ABCD，|AB|CD|又|AD|BC|，所以四边形 ABCD 是等腰梯形，故选 C 1 2 3 4 5 2力 F(1，5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s(4，6)，则力 F 对质点 m 做的功是()A34 B26 C34 D26 C WFs(1，5)(4，6)34，力 F 对 m 所做的功是34 1 2 3 4 5 3两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90时，合力大小为 20 N，则当它们的夹角为 120时，合力大小为()A40 N B10 2 N C20 2 N D
12、10 3 NB 设 F1，F2 夹角为 90时合力为 F0，由平行四边形法则可知，|F1|F2|F0|cos 4510 2N当 F1 和 F2 的夹角为 120时，由平行四边形法则知合力|F|10 2 N，故选 B 1 2 3 4 5 4在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA(1，t)，OB(2，2)若ABO90，则实数 t 的取值为_ 5 ABOB OA(3，2t)，由题意知OB AB0，所以 232(2t)0，解得 t5 5 1 2 3 4 5在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA(3，1)，OB(2，k)，则实数 k_4 如图所示，由于OA(3，1)，OB(2，k)，所以ABOB OA(1，k1)在矩形中，由OAAB得OA AB0，所以(3，1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得 k4 回顾本节知识，自我完成以下问题：1应用平面向量可以解决平面几何中的哪些问题？提示 平行、垂直、夹角、距离等问题 2应用平面向量可以解决物理中的哪些问题？提示 力的合成与分解，速度的合成与分解，做功问题等等 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
