1、考点突破考点突破高考导航 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现考点突破热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 考点突破【例 1】(1)(2015天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与
2、圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为()A.x29y2131 B.x213y291 C.x23y21 Dx2y231(2)若点 M(2,1)，点 C 是椭圆x216y271 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|AC|的最小值为_考点突破(3)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线 PQ 经过焦点 F，则椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为_解析(1)双曲线x2a2y2b21 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 ybax，由题意得2ba2b2 3，考点突破联立解得 b
3、3，a1，所求双曲线的方程为 x2y231，选 D.(2)设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2,1)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而 a4，|BM|2321 26，所以(|AM|AC|)最小8 26.考点突破(3)因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为p2，0，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将 xp2代入抛物线方程得 yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 Pp2，p 且 PFOF.所以|PE|p2p22p2 2p，|PF|p，|EF|p.故 2a 2pp,2cp，e2c2a 21.答案(1)D(2)8 26(3)21考点突破探究提高
4、(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果考点突破【训练 1】(2017衡水金卷)已知椭圆x24y221 的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1 且倾斜角为 45的直线
5、 l 交椭圆于 A，B 两点，以下结论：ABF2 的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|83.其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D0考点突破解析 由椭圆的定义，得|AF1|AF2|4，|BF1|BF2|4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|8，故正确；由条件，得 F1(2，0)，因为过 F1 且倾斜角为 45的直线 l的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 yx 2，则原点到 l 的距离 d|2|2 1，故正确；设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yx 2，x24y221，得 3x24 2x0，解得 x10，x24 23，所以|AB
6、|11|x1x2|83，故正确故选 A.答案 A考点突破热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题考点突破【例 2】(满分 12 分)(2015全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点(2，2)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值考点突破满分解答(1)解 由题意有 a2b2a 22，4a2
7、2b21，2 分解得 a28，b24.4 分所以 C 的方程为x28y241.5 分(2)证明 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入x28y241 得考点突破(2k21)x24kbx2b280.7 分故 xMx1x22 2kb2k21，yMkxMbb2k21.10 分于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM 12k，即 kOMk12.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分考点突破 列出方程组，解出 a2，b2 得 4 分设出直线 l 的方程后与椭圆方程联立消去 y 得到关于 x 的方程准确者得 4 分求
8、出点 M 的坐标得 1 分，再得到直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值得 2 分结论得 1 分考点突破解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值第二步：探究一般情况探究一般情形下的目标结论第三步：下结论，综合上面两种情况定结论考点突破【训练 2】已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F(1,0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为12，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点(1)解 因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐
9、标为(1,0)，所以p21，所以 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.考点突破(2)证明 当直线 AB 的斜率不存在时，设 At24，t，Bt24，t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以 tt24tt2412，化简得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得y24x，ykxb，化简得 ky24y4b0.考点突破根据根与系数的关系得 yAyB4bk，因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0.即y2A4 y
10、2B4 2yAyB0，解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB4bk 32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8)综上所述，直线 AB 过定点(8,0)考点突破热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题考点突破【例 3】(2016山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 32，抛物线 E：x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点考点突破(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P
11、 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.求证：点 M 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标考点突破(1)解 由题意知 a2b2a 32，可得 a24b2，因为抛物线 E 的焦点 F0，12，所以 b12，a1，所以椭圆 C 的方程为 x24y21.(2)证明 考点突破设 Pm，m22(m0)，由 x22y，可得 yx，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l
12、的方程为 ym22 m(xm)即 ymxm22.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程x24y21，ymxm22，得(4m21)x24m3xm410.考点突破由 0，得 0m 2 5(或 0m22 5)(*)且 x1x2 4m34m21，因此 x0 2m34m21，将其代入 ymxm22，得 y0m224m21，因为y0 x0 14m.所以直线 OD 方程为 y 14mx，联立方程y 14mx，xm，得点 M 的纵坐标 yM14，所以点 M 在定直线 y14上考点突破解 由知直线 l 的方程为 ymxm22，令 x0，得 ym22，所以 G0，m22，又 Pm，m22
13、，F0，12，D2m34m21，m224m21，所以 S112|GF|mm21m4，S212|PM|mx0|122m2142m3m4m21 m2m21284m21.所以S1S224m21m212m212.考点突破设 t2m21，则S1S22t1t1t22t2t1t21t21t2，当1t12，即 t2 时，S1S2取到最大值94，此时 m 22，满足(*)式，所以 P 点坐标为22，14.因此S1S2的最大值为94，此时点 P 的坐标为22，14.考点突破探究提高 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法
14、、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.考点突破【训练 3】(2016浙江卷)如图，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.考点突破(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线x1 的距离，由抛物线的定义得
15、p21，即 p2.(2)由(1)得，抛物线方程为 y24x，F(1,0)，可设 A(t2,2t)，t0，t1.考点突破因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1消去 x 得 y24sy40.故 y1y24，所以 B1t2，2t.又直线 AB 的斜率为 2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t.考点突破设 M(m,0)，由 A，M，N 三点共线得 2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m 2t2t21，所以 m0 或 m2.经检验，m0 或 m2 满足题意综上
16、，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，)考点突破热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题考点突破【例 4】(2015全国卷)已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜
17、率；若不能，说明理由(1)证明 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)考点突破将 ykxb 代入 9x2y2m2 得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22 kbk29，yMkxMb 9bk29.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值(2)解 四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.考点突破设点 P 的横坐标为 xP，由 y9kx，9x2y2m
18、2得 x2P k2m29k281，即 xPkm3 k29.将点m3，m 的坐标代入 l 的方程得 bm3k3，因此 xMkk3m3k29.四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是km3 k292kk3m3k29，解得 k14 7，k24 7.考点突破因为 ki0，ki3，i1,2，所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形探究提高(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素
19、(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法考点突破【训练 4】(2017衡水高三联考)在平面直角坐标系 xOy 中，过点C(2,0)的直线与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求证：y1y2 为定值；(2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由考点突破解(1)法一 当直线 AB 垂直于 x 轴时，y12 2，y22 2.因此 y1y28(定值)当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB
20、 的方程为 yk(x2)，由ykx2，y24x，得 ky24y8k0.y1y28.因此有 y1y28 为定值考点突破法二 设直线 AB 的方程为 myx2，由myx2，y24x，得 y24my80.y1y28.因此有 y1y28 为定值(2)设存在直线 l：xa 满足条件，则 AC 的中点 Ex122，y12，|AC|x122y21.因此以 AC 为直径的圆的半径r12|AC|12 x122y2112 x214，考点突破又点 E 到直线 xa 的距离 dx122a故所截弦长为2 r2d2214x214x122a 2 x214x122a2 41ax18a4a2.当 1a0，即 a1 时，弦长为定值 2，这时直线方程为 x1.