1、31.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程知识点导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即k f(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多
2、个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线1过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线却仅有一条()2曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同()3这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同()题型一求切线方程命题角度1曲线在某点处的切线方程例1已知曲线C：yx3，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程解将x2代入曲线C的方程得y4，切点坐标为P(2,4)y|x2 42x(x)24，ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_答案
3、3解析y|x2 (4x)4，ky|x24.曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.命题角度2曲线过某点的切线方程例2求抛物线yx2过点的切线方程解设切线在抛物线上的切点坐标为， x0，x0，即x8x070，解得x07或x01.切线过抛物线yx2上的点，故切线方程为y(x7)或y(x1)，化简得14x4y490或2x4y10，即为所求的切线方程反思感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)(2)建立方程f(x0).(3)解方程kf(x0)，得x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求过点(1,0)与曲
4、线yx2x1相切的直线方程解设切点坐标为(x0，xx01)，则切线斜率为k 2x01.又k，2x01，解得x00或x02.当x00时，切线的斜率为k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10；当x02时，切线的斜率为k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.题型二求切点坐标例3已知曲线y1x21在xx0处的切线与曲线y21x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值解 2x0， 3x.由题意得2x03x，解得x00或.引申探究1若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值解2x0，3x.又曲线y1x21与y21x3在xx0处的切线互
5、相垂直，2x0(3x)1，解得x0.2若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程解由例3知，x00或.当x00时，两条平行切线方程分别为y1，y1.当x0时，曲线yx21的切线方程为12x9y130.曲线y1x3的切线方程为36x27y110.所求两平行切线方程为y1与y1或12x9y130与36x27y110.反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)(2)求导函数f(x)(3)求切线的斜率f(x0)(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标跟踪训练3已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x
6、23相切，求a的值及切点坐标解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0) 3x4x0，又由题意可知k4，3x4x04，解得x0或x02，切点坐标为或(2,3)当切点坐标为时，有4a，解得a.当切点坐标为(2,3)时，有342a，解得a5.当a时，切点坐标为；当a5时，切点坐标为(2,3)题型三导数几何意义的应用例4(1)函数g(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A0g(2)g(3)g(3)g(2)B0g(3)g(3)g(2)g(2)C0g(2)g(3)g(2)g(3)D0g(3)g(2)g(2)0且曲线的切线的斜率逐渐增大，g(x)单调递增，g(2)g(3)，g(x)上升的越来越快，g
7、(2)g(3)g(2)g(3)，0g(2)g(3)g(2)g(3)，故选C.(2)已知曲线f(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案7解析设点P(x0,2xa)由导数的几何意义可得f(x0) 4x08，x02，P(2,8a)将x2，y8a代入到8xy150中，得a7.反思感悟利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小跟踪训练4(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()Af(1)f(2)aBf(1)af(2)Cf(2)f(1)aDaf(
8、1)f(2)考点题点答案B解析由图象可知，在(0，)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，a，易知f(1)af(2)(2)曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴及直线xa围成的三角形的面积为，则a_.答案1解析由题意知切线的斜率为3a2，由点斜式得切线方程为ya33a2(xa)令y0，得xa，令xa，得ya3，则|a3|，解得a1.求切线倾斜角的范围典例已知点P在曲线yx3x上，直线l为曲线在P点处的切线，求直线l的倾斜角的取值范围考点题点解设P(x0，y0)，3x11，设直线l的倾斜角为(00 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案C解析由导数的几何意义
9、，可得f(x0)2f(xB) Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定答案B解析由导数的几何意义知，f(xA)，f(xB)分别是f(x)在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB)3已知函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是x2y10，则f(1)2f(1)的值是()A. B1 C. D2答案D解析(1，f(1)在直线x2y10上，12f(1)10，f(1)1.又f(1)，f(1)2f(1)122.故选D.4下列点中，在曲线yf(x)x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(2,4)C. D.答案D解析f(x) 2x，又切线的倾斜角为，直线
10、斜率为tan 1，即2x1，x，y，则切点坐标为.5设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B. C D1答案A解析y|x1 (2aax)2a，2a2，即a1.6设P为曲线C：yf(x)x22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为()A. B1,0C0,1 D.答案D解析设点P的横坐标为x0，则曲线在点P处的切线倾斜角与x0的关系为tan f(x0)2x02.，tan 1，)，2x021，即x0.x0的取值范围为.7.函数yf(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3
11、)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)考点题点答案B解析设x2，x3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f(3)f(2)kAB，f(3)kBQ，f(2)kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，故kBQkABkAT.故选B.二、填空题8已知函数yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则_.答案2解析函数过点(1,3)，ab3.又y|x1 2a2，a1，b2，故2.9如图，函数yf(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)_.答案1解析由题
12、图可得函数yf(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)1.10曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x2所围成的三角形的面积为_答案解析y|x13，曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，即y3x2，则切线与x轴，直线x2所围成的三角形面积为S4.11若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_答案4解析设抛物线在点P处的切线斜率为k，ky|x2 5，切线方程为y5x.点P的纵坐标为y5(2)10，将P(2,10)代入yx2xc，得c4
13、.三、解答题12已知曲线C：yf(x)x2，试在曲线C上求一点P.(1)使在该点处的切线平行于直线y4x5；(2)使在该点处的切线垂直于直线2x6y50.解设P(x0，y0)是满足条件的点因为f(x0) (2x0x)2x0.(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，又点P在曲线C上，所以y04，即P(2,4)(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，又点P在曲线C上，所以y0，即P.13设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解f(x0) 3x2ax09(3x0a)x(x)23x2ax09.329，当x0时，f(x0)取到最小值9.函数f(x)斜率最小的切线与12xy6平行，该切线的斜率为12.912，解得a3，又a0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，此时a的取值范围是(，2)