1、2.2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.已知数列an的前n项和公式求通项an.知识点一等差数列的前n项和1定义：对于数列an，一般地，称a1a2a3an为数列an的前n项和2表示：常用符号Sn表示，即Sna1a2a3an.知识点二等差数列前n项和公式等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式SnSnna1d知识点三a1，d，n，an，Sn知三求二1在等差数列an中，ana1(n1)d，Sn或Snna1d.两个公式
2、共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和2依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”知识点四数列中an与Sn的关系 对于一般数列an，设其前n项和为Sn，则有an特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用(2)若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1
3、(n2)所得通项公式不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式1若数列an的前n项和为Sn，则S1a1.()2若数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1，nN.()3等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法()4123100.()题型一等差数列前n项和公式的基本运算例1在等差数列an中：(1)已知a5a1058，a4a950，求S10；(2)已知S742，Sn510，an345，求n.解(1)方法一由已知条件得解得S1010a1d1034210.方法二由已知条件得a1a1042，S10542210.(2)S77a442，a46.Sn510.n20.反思感悟(1)在解决与等差数列前n项和有
4、关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟踪训练1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解由得解方程组得或题型二由数列an的前n项和Sn求an例2已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n2，nN)，当n2时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S1121，也满足式数列an的通项公式为an2n，nN.an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列引
5、申探究若将本例中前n项和改为Snn2n1，求通项公式解当n2时，anSnSn12n.当n1时，a1S1121不符合式an反思感悟已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn3n，求an.解当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn-13n3n-123n-1.当n1时，代入an23n-1得a123.an题型三等差数列在实际生活中的应用例3某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50
6、元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a1050(1 000950)1%55.5，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201 105，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元)反思感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数跟踪训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两
7、处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，得2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，得2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.1已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于
8、()A2 300 B2 400 C2 600 D2 500答案D解析由ama1(m1)d，得991(m1)2，解得m50，所以S5050122 500.2记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.答案190解析S1919a101910190.4已知数列an是等差数列，Sn是它的前n项和若S420，a48，则S8_.答案72解析设an的公差为d，则由解得a1d2，S882272.5已知数列an
9、满足a12a2nann(n1)(n2)，则an_.答案3(n1)(nN)解析由a12a2nann(n1)(n2)，当n2，nN时，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2，nN)又当n1时，a11236也适合上式，an3(n1)，nN.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，
10、则amanapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则aman2ap(m，n，pN)3由Sn与an的关系求an主要使用an一、选择题1在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2在20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为()A200 B100 C90 D70答案B解析S10100.3已知数列an中，a11，anan-1(n2，nN)，则数列an的前9项和等于()A27 B. C45 D9答案A解析由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，S99191827.4在等差数
11、列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前100项的和为()A10 000 B8 000C9 000 D11 000答案A解析由已知得anbn为等差数列，故其前100项的和为S10050(2575100)10 000.5在等差数列an中，若S104S5，则等于()A. B2 C. D4答案A解析由题意得10a1109d4，10a145d20a140d，10a15d，.6在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7，2(n1)7100，n15，n14，S1414214137665.7在等差数列
12、an中，aa2a3a89，且an0，则S10等于()A9 B11 C13 D15答案D解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，an0，所以anan-12(n2)所以数列an是以3为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知an32(n1)2n1，nN.14现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_答案10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根15已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是等差数列，且bn，求非零常数c.解(1)设等差数列an的公差为d，且d0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.an4n3，nN.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)经检验，c符合题意，c.