1、9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.2 向量坐标表示与运算 第2课时 向量数量积的坐标表示 第9章 平面向量 学 习 任 务核 心 素 养 1理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点)2能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式(重点)3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点、难点)通过平面向量数量积的学习与应用，提升数学运算和逻辑推理核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 设 i，j 是两个互相垂直且分别与 x 轴，y 轴的正半轴同向的单位向量ii，jj，ij 分别是多少？取 i，j 为坐标平面内的一
2、组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将 a，b 用 i，j 表示，并计算 ab 知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 若两个向量为 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，即两个向量的数量积等于它们_ x1x2y1y2对应坐标的乘积的和1已知 a(1，1)，b(2，3)，则 ab()A1 B1 C5 D5 B a(1，1)，b(2，3)，ab1231 2已知 a(2，x)，b(0，1)，若 ab3，则 x_ 3 a(2，x)，b(0，1)，abx3 知识点 2 向量的长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设 a(x，y)，则 a2x2y2，即|a|_(2)向量的夹角公式
3、：设两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则 cos ab|a|b|特别地，若 ab，则_；反之，若 x1x2y1y20，则ab x2y2x1x2y1y2x21y21 x22y22x1x2y1y20若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB的模？提示 ABOB OA(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12 3已知 a(5，5)，b(0，3)，则|a|_，a与 b 的夹角为_ 5 2 34 ab15，|a|52525 2，|b|3，cos ab|a|b|155 23 22，又 0，34 4已知 a(3，1)，b(x，5)，若 ab，则 x_ 5
4、3 ab，ab0，3x50，x53 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 数量积的坐标运算【例 1】已知 a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)，求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c 解(1)ab123517(2)ab(3，8)，2ab(4，11)，(ab)(2ab)1288100(3)(ab)c17c(34，17)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.跟进训练 1已知 a 与 b 同向，b(1，2)，ab10(1)求 a 的坐
5、标；(2)若 c(2，1)，求 a(bc)及(ab)c 解(1)设 ab(，2)(0)，则有 ab410，2，a(2，4)(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)类型 2 向量的夹角【例 2】已知 A(2，2)，B(5，1)，C(1，4)，求BAC 的余弦值 解 AB(5，1)(2，2)(3，3)，AC(1，4)(2，2)(1，6)，ABAC3(1)3615 又|AB|32323 2，|AC|1262 37，cosBAC ABAC|AB|AC|153 2 375 7474 已知 a，b 的坐标求夹角时，应先求出 ab 及|a|，|b|，再代入夹角
6、公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.跟进训练 2已知向量 a(1，2)，b(2，4)，|c|5，若(cb)a152，则 a 与 c 的夹角为_ 120 ab10，(cb)acabaca10152，ca52 设 a 与 c 的夹角为，则 cos ac|a|c|525 512 又 0，180，120 类型 3 向量垂直的综合应用【例 3】已知在ABC 中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|解 法一：设点 D 坐标为(x，y)，则AD(x2，y1)，BC(6，3)，BD(x3，y2)，D 在直线 BC 上，即BD 与BC共线，存在实数，使BD BC，即(x
7、3，y2)(6，3)，x36y23，x32(y2)，即 x2y10 又ADBC，AD BC0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即 2xy30 由可得x1，y1，即 D 点坐标为(1，1)，AD(1，2)，|AD|1222 5，即|AD|5 法二：在ABC 中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，所以BC(6，3)，AB(1，3)与BC垂直的一个向量AE(3，6)，所以|AE|3 5，ABAE15 向量AB在AE上的投影向量AD(|AB|cos )AE|AE|(其中 为AB和AE的夹角)，所以|AD|AB|cos AE|AE|ABAE|AE|153 5 5 向量的垂直
8、问题主要借助于结论：abab0 x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握(1)与向量 a(x，y)垂直的一个向量可以设为 b(y，x)；(2)求ABC 中 BC 边上的高 AD，可以先求出与BC垂直的一个向量AE，再求出AB(或AC)在AE上的投影向量的模，就是高 AD 的大小 跟进训练 3已知边长为 2 的菱形 ABCD 中，点 F 为 BD 上一动点，点 E满足BE2EC，AEBD 23，则AFEF的最小值为()A23 B43 C15275 D7336 D 由题意知BE23BC设DAB，AE BD(AB BE)(AD AB
9、)AB AD AB 223BC AD 23BCAB4cos 48383cos 23，cos 12，3 以 AC 与 BD 交点为原点，AC 所在直线为 x 轴，BD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(3，0)，E2 33，13 设 F(0，t)，则AF(3，t)，EF2 33，t13，AFEF2tt13 t213t2 当 t16时，(AFEF)min 136 11827336当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1设向量 a(1，0)，b12，12，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab 22 Cab 与 b 垂直Dab 与 b 垂直 1 2 3 4 5 C 由
10、题知|a|12021，|b|122122 22，ab11201212，(ab)bab|b|2121210，(ab)bab|b|212120，故 ab 与 b 垂直 1 2 3 4 5 2若 a，b 满足|a|1，|b|2，ab(3，2)，则|2ab|()A 15 B 17 C2 2 D2 5 C 由已知得(ab)2a22abb212ab45，ab0，(2ab)24a24abb24048，|2ab|2 2，故选 C 1 2 3 4 5 3向量 m(x5，1)，n(4，x)，mn，则 x_ 4 4(x5)x0，x4 1 2 3 4 5 4已知 a(1，3)，b(2，1)，则 a 与 b 的夹角为_
11、 34 cos 123112322212510 5 22，又 0，34 5 1 2 3 4 5若向量 a(1，3)，b(x，1)的夹角为钝角，则实数 x的取值范围为_ xx3，且x13 向量 a(1，3)，b(x，1)的夹角为钝角，ab0，且两个向量不是反向共线的向量，1(x)3(1)3，而当 x13时，两向量反向共线，故实数 x的取值范围为xx3，且x13 回顾本节知识，自我完成以下问题：1已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 ab，则其坐标间满足什么等量关系？与向量 a 垂直的一个向量，能用 x1，y1 表示出来吗？提示 abx1x2y1y20与向量 a 垂直的一个向量，能用x1，y1 表示为(y1，x1)2应用平面向量数量积的坐标运算可以解决哪些常见问题？提示(1)求平面向量的数量积；(2)解决向量模的问题；(3)解决向量的夹角与垂直问题 特别是求已知三角形的高的问题，两种思路：方程思想求垂足坐标；利用投影向量的模 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!