1、第二章 4一、选择题1曲线y2x36x上切线平行于x轴的点的坐标是()A(1,4)B(1，4)C(1，4)或(1,4)D(1,4)或(1，4)答案D解析y(2x36x)6x26，由y0，得x1或x1.代入y2x36x，得y4或y4，即所求点的坐标为(1，4)或(1,4)2(2014合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是()AysinxByexCylnxDycosx答案D解析由ysinx得ycosx为偶函数，故A错；又yex时，yex为非奇非偶函数，B错；C中ylnx的定义域x0，C错；D中ycosx时，ysinx为奇函数，选D.3已知曲线y3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标
2、为()A3B2C1D.答案A解析yx，x2x60，解得x13，x22.又x0，x3.二、填空题4(2014杭州质检)若f(x)x22x4lnx，则f (x)0的解集为_答案(2，)解析由f(x)x22x4lnx，得函数定义域为(0，)，且f (x)2x222，f (x)0，解得x2，故f (x)0的解集为(2，)5(2014上海徐汇摸底)已知函数f(x)x33x，过点P(2，2)作曲线yf(x)的切线，则切线的方程为_答案y9x16或y2解析当P(2，2)为切点时，切线方程为y9x16；当P(2，2)不是切点时，设切点为(a，b)，则ba33a，由于y3x23，所以切线的斜率k3a23，故切线
3、方程为yb(3a23)(xa)，又切线过点(2，2)，所以2b(3a23)(2a)，解得或(舍去)，所以切线方程为y2.综上，所求的切线方程为y9x16或y2.三、解答题6求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yx2sinx；(3)y.分析仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形解析(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5；(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx；(3)y.一、选择题1已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于()A2B2C4D0答案C解析f(x
4、)2x2f(1)，于是f(1)22f(1)，则f(1)2，故得f(x)2x4，因此f(0)4.故选C.2(2014深圳模拟)函数f(x)的导数是()A. B.C. D.答案D解析f(x)()，故选D.3(2014太原模拟)曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10答案C解析依题意得ycosxex，又曲线ysinxex在点(0,1)处的切线的斜率为cos0e02，因此该切线方程是y12x，即2xy10.选C.4(2014山师附中高二期中)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A2B1 C1D2答案C解析由条件
5、知，点A在直线上，k2，又点A在曲线上，ab13，ab2.由yx3axb得y3x2a，3ak，a1，b3，2ab1.5(2010辽宁文，12)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A0，)B，)C(，D，)答案D解析考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式解析：ytanex0ex 2(当且仅当x0时取等号)ex24，011tan00，)，)，故选D二、填空题6(2012辽宁理，15)已知P、Q为抛物线x22y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_答案4解析本题考查导数的几何意义由题意知：P(4,8)，
6、Q(2,2)，yx，切线斜率k4或k2.LAP：y84(x4)，LAQ：y22(x2)联立消去x，得y4.注意在切线问题中常常用导数的几何意义7(2014广东理，10)曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为_答案y5x3解析ye5x2，y5e5x|x05.k5，又过点(0.3)，切线方程y3kx5x，y5x3，注意导数的几何意义三、解答题8求过原点作曲线C：yx33x22x1的切线方程分析因为C不过原点，所以切点不为原点，应另设切点，再用导数几何意义求切线方程解析设切点为(x0，y0)，y3x26x2，切线斜率为3x6x02，切线方程为yy0(3x6x02)(xx0)切点在曲线C，y0x3
7、x2x01，又切线过原点，y0(3x6x02)(x0)，由得02x3x1，2x3x10，因式分解得：(x01)2(2x01)0x01或x0，两个切点为(1，1)，(，)两条切线方程为y11(x1)和y(x)即xy0或23x4y0.点评过曲线外一点作切线，应是设切点坐标，利用导数求切线方程，再列关于切点横坐标的方程，求解9已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？ 解析(1)把x1代入C的方程，求得y4， 切点为(1，4)，y12x36x218x，切线斜率为k1261812.切线方程为y412(x1)，即y
8、12x8.(2)由得3x42x39x212x40，(x1)2(x2)(3x2)0，x1，2，.代入y3x42x39x24，求得y4,32,0，即公共点为(1，4)(切点)，(2,32)，(，0). 除切点外，还有两个交点(2,32)、(，0). 10已知抛物线：C1yx22x和C2yx2a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分解析(1)函数yx22x的导数y2x2，曲线C1在点P(x1，x2x1)的切线方
9、程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx.函数yx2a的导数y2x，曲线C2在点Q(x2，xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa.如果直线l是过点P和Q的公切线，则式和式都是l的方程消去x2得方程2x2x11a0，此方程442(1a)由0，得a，解得x，此时P与Q重合，即当a时，C1和C2有且仅有一条公切线由得公切线方程为yx.(2)由(1)可知，当a时，C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有x1x21，y1y2x2x1(xa)x2x1(x11)2a1a，线段PQ的中点为(，)同理，另一条公切线段PQ的中点也是(，)，所以公切线段PQ和PQ互相平分