1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(一)导数的综合应用1.(2015潍坊模拟)5A级景区沂山为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)【解题提示
2、】(1)由条件:“当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元”列出关于a,b的方程组,解得a,b的值即得f(x)的解析式.(2)先写出函数T(x)的解析式,再利用导数研究其单调性,进而得出其最大值,从而解决问题.【解析】(1)由条件可得解得a=-,b1.则f(x)=-+x-ln(x10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x10),则T(x)=-+-=-.令T(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x(10,50)时,T(x)0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;当x50时,T(x)0,因此T(x)在(50,+)上是减函数,故x=50为T(x)的极
3、大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元.即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)24.4万元.【加固训练】(2015湖南四校联考)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格).(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在工厂按照获得最
4、大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s是多少?【解析】(1)工厂的实际年利润为:w=2 000-st(t0).w=2 000-st=当t=时,w取得最大值.所以工厂取得最大年利润的年产量t= (吨).(2)设农场净收入为v元,则v=st-0.002t2.将t=代入上式,得:v=又v=令v=0,得s=20.当s0;当s20时,v1-.【证明】(1)g(x)=,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+)上为增函数.所以g(x)g(1)=1,得证.(2)f(x)=1-,f(x)=,所以0x2时,f(x)2时,
5、f(x)0,即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+)上为增函数,所以f(x)f(2)=1-,又由(1)x-ln x1,所以(x-ln x)f(x)1-.3.已知函数f(x)=(x2+2x-2)ex,xR,e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的极值.(2)若方程f(x)=m有两个不同的实数根,试求实数m的取值范围.【解题提示】(1)根据求极值的方法求极值.(2)画出图象,根据图象分析求解.【解析】(1)f(x)=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex,令f(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下:x(-,-4)-4(-4,0)0(0,+)f(x)+0-0+f
6、(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可得当x=-4时,函数f(x)有极大值f(-4)=6e-4;当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2.(2)由(1)及当x-,f(x)0;x+,f(x)+大致图象为如图,“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,故实数m的取值范围为(-2,06e-4.4.(2015日照模拟)已知函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值.(2)讨论函数f(x)的单调区间.(3)若对任意x0,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)
7、因为f(x)=ax3lnx+bx3+c,所以f(x)=3ax2lnx+ax2+3bx2,因为函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,所以解得a=-6,b=2.(2)由(1)得f(x)=-18x2lnx,x0,由f(x)0,得0x1,所以增区间为(0,1).由f(x)1,所以减区间为(1,+).(3)当x0时,f(x)c2恒成立的充要条件是f(x)最大值c2,由(2)知f(x)最大值=f(1)c2,即c22+c,解得c-1或c2.所以c的取值范围是(-,-12,+).5.(2014四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.718 28为自然
8、对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用,函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性.【解析】(1)因为f(x)=ex-ax2-bx-1,所以g(x)=f(x)=ex-2ax-b,又g(x)=ex-2a,因为x0,1,1exe,所以:若a,则2a1,g(x)=ex-2a0,所以函数g(x)在区间0, 1上单调递增,
9、g(x)min=g(0)=1-b.若a,则12ae,于是当0xln(2a)时,g(x)=ex-2a0,当ln(2a)0,所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增,g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.若a,则2ae,g(x)=ex-2a0,所以函数g(x)在区间0,1上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当a时,g(x)在区间 0,1上的最小值为g(x)min=g(0)=1-b;当a时,g(x)在区间0, 1上的最小值为g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b;当a时,g(x)在区间
10、0,1上的最小值为g(x)min=g(1)=e-2a-b.(2)由f(1)=0e-a-b-1=0b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,由(1)知当a或a时,函数g(x)即f(x)在区间0,1上单调,不可能满足上述要求.故只有a,此时g(x)min=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,令h(x)=x-xln x-e+1(1x0x,所以h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,h(x)max=h()=-ln-e+1=-e+10,即g(x)min0恒成立,因为函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,所以解得又a,所以e-2a1,综上,a的取值范围为(e-2,1).关闭Word文档返回原板块