1、课后限时集训(五十八)圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时：40分钟1已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2
2、.2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|，且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围解(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2.又r1r22a，联立，解得r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2，解得a24.因为c1，所以b2a2c23，于是椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y并整理，得(34k2)x28kmx4m2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，
3、且(8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0.设线段AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0，y0kx0m.因为|AQ|BQ|，所以ABQM，又Q，M为线段AB的中点，所以k0，直线QM的斜率存在，所以kkQMk1，解得m.把代入，得34k2，解得k或k.即k的取值范围为.3.如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f (k)(k1)(k1)3，因为f (k)(4k2)(k1)2，所以f (k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.
