1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(七)第七章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015泰安模拟)下列结论正确的是()A.若向量ab,则存在唯一的实数使a=bB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“ab0”C.“若=,则cos=”的否命题为“若,则cos”D.若命题p:x0R,-x0+10【解析】选C.A中若b=0,则不存在,故A错;B中若a,b共线且反向,满足ab0,
2、但其夹角不为钝角;C中否命题是将条件和结论同时否定,故C正确;D中,p:xR,x2-x+10.2.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选B.对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,得到A错.对于B,因为l1l2,所以l1,l2所成的角是90,又因为l2l3,所以l1,l3所成的角是90,所以l1l3得到B对,对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错.对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,
3、故D错.故选B.3.(2015长春模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()A.96B.136C.152D.192【解题提示】先由三视图还原几何体,再求表面积.【解析】选C.由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱,其表面积为642+68+582=152.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16【解析】选A.将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V=422+224=16+8.4.(2015合肥模拟)已知a,b为两条不同的直线,为两个
4、不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是()A.若ab,则B.若,则abC.若a,b相交,则,相交D.若,相交,则a,b相交【解析】选D.若,相交,则a,b可能相交,也可能异面,故D为假命题.5.(2015青岛模拟)如图所示是某建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约(尺寸如图所示,单位:m,取3)()A.20kgB.22.2kgC.111kgD.110kg【解析】选B.由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体,长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为4(34)=48(m2).圆锥的底面半径为3,母
5、线为5,所以圆锥的侧面积为35=15=45(m2),底面积(去掉一个正方形)为9-33=9-9=18(m2),所以该几何体的总面积为48+45+18=111(m2),所以共需油漆0.2111=22.2kg.6.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解题提示】把展开图复原为正方体求解.【解析】选C.如图所示,EGF为AB和CD所成的角,F为正方体一棱的中点.设正方体棱长为1,所以EF=GF=,EG=.所以cosEGF=.7.(2015石家庄模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题
6、正确的是()A.m,n且,则mnB.m,n且,则mnC.m,n,mn,则D.m,n,m,n,则【解析】选B.A中直线m,n也有可能异面或相交,所以不正确,B正确,C中,不一定垂直,错误.D当m,n相交时,结论成立,当m,n不相交时,结论错误,所以选B.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,CD,B1C1的中点,则下列中与直线AE有关的正确命题是()A.AECGB.AE与CG是异面直线C.四边形ABC1F是正方形D.AE平面BC1F【解析】选D.由正方体的几何特征,可得AEC1G,但AE与平面BCC1B1不垂直,故AECG不成立;由于EGAC,故A,E,G,C四点共面
7、,所以AE与CG是异面直线错误;四边形ABC1F中,ABBC1,故四边形ABC1F是正方形是错误的;而AEC1F,由线面平行的判定定理,可得AE平面BC1F,故选D.9.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.将几何体展开图还原为几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EFADBC,即直线BE与CF共面,错;因为B平面PAD,E平面PAD,EAF,所以BE与A
8、F是异面直线,正确;因为EFADBC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC,正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,错.10.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.直线B1E直线BC1【解析】选D.A.因为在正方体中,ACBD,ACDD1,BDDD1=D,所以AC面BB1D1D,因为BE面BB1D1D,所以ACBE,所以A正确.B.因为B1D1平面ABCD,所以B1E平面ABCD成立,即B正确.C.三棱锥E-ABC的底面ABC为定值,锥体的高BB1为定值,所以
9、锥体体积为定值,即C正确.D.因为D1C1BC1,所以B1E直线BC1错误.故选D.11.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,EPC,FPB,=3,=,若AF平面BDE,则的值为()A.1B.3C.2D.4【解题提示】通过证明面面平行,能求出的值.【解析】选C.因为AF平面BDE,所以过点A作AH平面BDE,交PC于H,连接FH,则得到平面AFH平面BDE,所以FHBE,因为EPC,FPB,=3,=,所以=1,所以EC=EH,又PE=3EC,所以PH=2HE,又因为=2,所以=2.故选C.12.(2015天津模拟)在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,D为侧棱PC上的一点
10、,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是()A.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为B.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为C.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为D.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为【解题提示】先结合三视图和直观图弄清题目条件,再进行推理计算.【解析】选C.因为PA平面ABC,所以PABC,又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAD,又由三视图可得,在PAC中,PA=AC=4,D为PC的中点,所以ADPC,又PCBC=C,故AD平面PBC.又由三视图可知BC=4,而ADC=90,BC平面PAC,故VD-ABC=VB-ADC=224=
11、.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015石家庄模拟)把一个半径为5cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为.【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则由已知得解得:h=20(cm).答案:20cm14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分别是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,B1B的中点,则下列判断:PQ与RS共面;MN与RS共面;PQ与MN共面.则正确结论的序号是.【解析】连接PR,SQ,可知SQPR,所以四边形PQSR为平行四边形,所以PQRS,故正确;由
12、图知直线MN过平面A1B外一点N,而直线RS不过M点,故MN与RS为异面直线,故错;由图知延长PQ与MN,则PQ与MN相交,故正确.答案:15.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120,则此球的表面积等于.【解析】设球心为O,球半径为R,ABC的外心是M,则O在底面ABC上的射影是点M,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,ABC=(180-120)=30,AM=2.因此,R2=22+=5,此球的表面积等于4R2=20.答案:2016.(2015嘉兴模拟)如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E,F分别是A
13、B,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出四个结论:DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是.【解析】对于:因为BCAD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,故不成立;对于:设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPCF时,就有BDFC,而ADBCAB=234可使条件满足,故正确;对于:当点P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,故正确.对于:因为点D的射影不可能在FC上,故不成立.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015成都
14、模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC,EAEB.(1)求证:ABDE.(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.【解析】(1)取AB中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形,所以ABOD.因为EOOD=O,所以AB平面EOD.又DE平面EOD,所以ABDE.(2)因为平面ABE平面ABCD,且ABBC,所以BC平面ABE,则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a,则AB=2a,BE=a,所以CE=a,则直角
15、三角形CBE中,sinCEB=,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.【一题多解】第(2)问,也可以采用如下方法:因为平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为,所以sin=|cos|=,即直线EC与平面ABE所成角的
16、正弦值为.18.(12分)(2015黄石模拟)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BCA1D.(2)求证:平面A1BC平面A1BD.(3)求三棱锥A1-BCD的体积.【解题提示】(1)由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O平面BCDBCA1O;又BCCOBC平面A1CDBCA1D.(2)先由ABCD为矩形A1DA1B,再由(1)知A1DBCA1D平面A1BC,即可得到平面A1BC平面A1BD.(3)把求三棱锥A1-BCD的体积转化为求三棱锥B-A1CD的体积即可.【解析】(1
17、)连接A1O,因为A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O平面BCD,又BC平面BCD,所以BCA1O,又BCCO,A1OCO=O,所以BC平面A1CD,又A1D平面A1CD,所以BCA1D.(2)因为ABCD为矩形,所以A1DA1B.由(1)知A1DBC,A1BBC=B,所以A1D平面A1BC,又A1D平面A1BD,所以平面A1BC平面A1BD.(3)因为A1D平面A1BC,所以A1DA1C.因为A1D=6,CD=10,所以A1C=8,所以=6=48.故所求三棱锥A1-BCD的体积为48.19.(12分)如图1,在直角ABC中,CACB,CAB=60,D,E分别为AB,CD的中点,AE
18、的延长线交CB于F.现将ACD沿CD折起,连接AF,如图2.(1)求证:平面AEF平面CBD.(2)当ACBD时,求二面角A-CD-B的余弦值.【解析】(1)在题干图1中,D为AB的中点,得AD=CD=DB,又CAD=60,所以ACD是正三角形.又E是CD的中点,所以AECD,EFCD.在题干图2中,又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,故CD平面AEF,又CD平面CDB,故平面AEF平面CBD.(2)方法一:过点A作AHEF,垂足H落在FE的延长线上,因为CD平面AEF,所以CDAH,又EFCD=E,所以AH平面CBD.连接CH并延长交BD的延长线于G,由ACBD,且AHBD,可得
19、BD平面AHC,从而得到BDCG,所以CGB=90.又CEH=90,HCE=GCD,所以CEHCGD,则=.设AC=a,易得GDC=60,GD=,CE=,CG=,代入=得EH=,又EA=,故cosHEA=.又AECD,EFCD,所以AEF为所求二面角的平面角,而AEF=-AEH,故二面角A-CD-B的余弦值为-.方法二:过点A作AHEF,由题意知垂足H落在FE的延长线上,因为CD平面AEF,所以CDAH,又CDEF=E,所以AH平面CBD.以E为原点,EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴,过E与AH平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由(1)可知AEF为所求二面角的平面角,设为
20、,并设AC=a,则可得C,D,B,A,故=,=,因为,所以=0,所以cos+=0,cos=-,故二面角A-CD-B的余弦值为-.20.(12分)(2015昆明模拟)四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且PA=AB=AD=CD,ABCD,ADC=90.(1)在侧棱PC上是否存在一点Q,使BQ平面PAD?证明你的结论.(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)当Q为侧棱PC中点时,有BQ平面PAD.证明如下:取PD的中点E,连接AE,EQ.因为Q为PC中点,则EQ为PCD的中位线,所以EQCD且EQ=CD.因为ABCD且AB=CD,所以EQAB且EQ=AB,所以四边形A
21、BQE为平行四边形,则BQAE.因为BQ平面PAD,AE平面PAD,所以BQ平面PAD.(2)方法一:设平面PAD平面PBC=l.因为BQ平面PAD,BQ平面PBC,所以BQl.因为BQ平面PCD,所以l平面PCD,所以lPD,lPC.故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.因为CD平面PAD,所以CDPD.设PA=AB=AD=CD=a,则PD=a,PC=a,故cosDPC=.所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.方法二:如图建立直角坐标系,设PA=AB=AD=1,CD=2,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,2,0),P(0,0,1),则=(0,1,-
22、1),=(-1,1,0).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则由x=y=z,取n=(1,1,1).由CD平面PAD,ABCD,知AB平面PAD,所以平面PAD的法向量为=(0,1,0).设所求锐二面角的大小为,则cos=.所以所求锐二面角的余弦值为.21.(12分)(2015郑州模拟)如图所示的几何体ABCDFE中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积.(2)证明:平面ADE平面BCF.【解析】(1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.因为ABC,DFE都是等边
23、三角形,故有AOBC,且平面BCED平面ABC,所以AO平面BCED,同理FG平面BCED,因为AO=FG=,四边形BCED是边长为2的正方形,所以,VABCDFE=2VF-BCED=24=.(2)由(1)知AOFG,AO=FG,所以四边形AOFG为平行四边形,故AGOF,又DEBC,所以,平面ADE平面BCF.22.(12分)在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ADC=90,AB=AD=PD=1,CD=2.(1)求证:BE平面PAD.(2)求证:BC平面PBD.(3)设Q为侧棱PC上一点,=,试确定的值,使得二面角Q-BD
24、-P为45.【解析】(1)取PD的中点F,连接EF,AF,因为E为PC中点,所以EFCD,且EF=CD=1,在梯形ABCD中,ABCD,AB=1,所以EFAB,EF=AB,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF,因为BE平面PAD,AF平面PAD,所以BE平面PAD.(2)因为平面PCD底面ABCD,PDCD,所以PD平面ABCD,所以PDAD,如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).=(1,1,0),=(-1,1,0),所以=0,BCDB,由PD平面ABCD,可得PDBC,因为DBPD=D,所以BC平面PBD.(3)平面PBD的法向量为=(-1,1,0),=(0,2,-1),=,(0,1),所以Q(0,2,1-),设平面QBD的法向量为n=(a,b,c),=(1,1,0),=(0,2,1-),由n=0,n=0,得所以n=,所以cos45=,注意到(0,1),得=-1.关闭Word文档返回原板块
