1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十)圆 的 方 程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选A.因为圆心(2, -3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=所以所求圆的方程为(x-2)2+(
2、y+3)2=13.2.(2015天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=当k=0时,rmax=1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.(2015北京模拟)已知平面上点P(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16,其中+=4,当x0,y0变化时,则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是()A.4B.16C.32D.36【解析】选C.由
3、题意可得,点P在圆(x-x0)2+(y-y0)2=16上,而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,即36-4=32,故选C.4.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是()A.(-,4)B.(-,0)C.(-4,+)D.(4,+)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a0,即a2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所
4、以a-b4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A.B.4C.8D.9【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4,整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点
5、Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在RtABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(+),又|AR|=|PR|= ,所以有(x1-4)2+=36-(+),即+-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=,y1=,代入方程+-4x1-10=0,得整理得:x2+y2=56,即所求Q点的轨迹方程为x2+y2=56.6.已知点P(2,2),点M是圆O1:x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆O2:(
6、x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是()A. -1B.-2C.2-D.3-【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+-(|PO1|-)=|PO2|-|PO1|+1=2-+1=3-.7.(2015长春模拟)已知函数f(x)=1+x-,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间,(ab,a,bZ)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是()A.B.2C.3D.4【解析】选A.因为f(x)=1+x-,所以当x-1时,f(x)=1-x+x2-x3+x2012= 0.而当x=-1时,f(x)=20130,所以f(x)0对任意xR恒成立,得函数f(x)是(-,
7、+)上的增函数,因为f(-1)=(1-1)+ 0,所以函数f(x)在R上有唯一零点x0(-1,0),因为F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x0-4(-5,-4),所以a-5且b-4,得b-a的最小值为-4-(-5)=1,因为圆x2+y2=b-a的圆心为原点,半径r=,所以圆x2+y2=b-a的面积为r2=(b-a),可得面积的最小值为,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015泰州模拟)若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是.【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线
8、,所以点P在圆的外部,即解之得a-3或1a0,b0),由题意可得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d=1,解得a=2或a=-(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=110.(2015聊城模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为.【解析】表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由结合图形可知, ,故最小值为.答案: (20分钟40分)1.(5分)(2015威海模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2
9、-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值是()【解析】选A.圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点A,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则AC1+1成立,即AC2.因为AC=所以2,解得-k0.所以k的最小值是-,选A.2.(5分)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12,则圆C的方程为()A.(x)2+y2=B.(x)2+y2=C.x2+(y)2=D.x2+(y)2=【解析】选C.由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣
10、弧所对圆心角为,设圆心(0,a),半径为r,则rsin =1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=,故圆C的方程为x2+(y)2=.3.(5分)(2014温州模拟)已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为.【解析】因为直线与圆O相交所得AOB是直角三角形,可知AOB=90,所以圆心O到直线的距离为所以a2=1-b20,即-b.设圆M的半径为r,则r=|PM|=(2-b),又-b,所以+1|PM|-1,所以圆M的面积的最小值
11、为(3-2).答案:(3-2)4.(12分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:=k|2.(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型.(2)当k=2时,求|2+|的最大、最小值.【解析】(1)设动点坐标为P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).因为=k|,所以x2+y2-1=k,整理得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线.若k1,则方程为表示以（,0）为圆心,以为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1,因为2+=(3x,3y-1)
12、,所以|2+|=又x2+y2=4x-3,所以|2+|=问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,由于点P在圆(x-2)2+y2=1上,故圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径,即1,解得12-t12+,结合|2+|=,得|2+|的最大值为最小值为.【一题多解】本题还可以用以下方法求解方法一:问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,则y=6x-t,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零得到与原解析完全相同的结果.方法二:因为(x-2)2+y2=1,所以令x=2+cos,y=sin,则36x-6y-26=6cos(+)+46,所以|2+|的最大值为最小值
13、为.【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知圆O的直径|AB|=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.(1)若PAB=30,求以MN为直径的圆的方程.(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.【解析】如图,建立直角坐标系,得O的方程为x2+y2=4,直线l的方程
14、为x=4.(1)当点P在x轴上方时,因为PAB=30,所以点P的坐标为(1,),所以lAP:y=(x+2),lBP:y=-(x-2).将x=4分别代入,得M(4,2),N(4,-2),所以线段MN的中点坐标为(4,0),|MN|=4.所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.综上,以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2)设点P的坐标为(x0,y0),则y00,所以+=4(y00),所以=4-.因为lPA:y=(x+2),lPB:y=(x-2),将x=4分别代入,得yM=yN=,所以M(4,),N(4,),所以|MN|=线段MN的中点坐标为(4,),以MN为直径的圆O截x轴所得的线段长度为则圆O与x轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0).又(4-2)2+02=28-164,所以O必过O内定点(4-2,0).关闭Word文档返回原板块