1、章末综合提升 第15章 概率 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1类型2类型3类型4类型 1 频率与概率 频率是概率的近似值，而概率是一个理论值当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率【例 1】对一批 U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数 a50100200300400500 次品件数 b345589 次品概率ba(1)计算表中次品的频率；(2)从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售 2 000 个 U 盘，至少需进货多少个 U 盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为 0.06，0
2、.04，0.025，0.017，0.02，0.018(2)当抽取件数 a 越来越大时，出现次品的频率在 0.02 附近摆动，所以从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是 0.02(3)设需要进货 x 个 U 盘，为保证其中有 2 000 个正品 U 盘，则x(10.02)2 000，因为 x 是正整数，所以 x2 041，即至少需进货2 041 个 U 盘 跟进训练1某射手在相同条件下进行射击，结果如下：射击次数 n102050100200500 击中靶心次数 m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是
3、多少？(2)假设该射手射击了 300 次，期望击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那么后 30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射手射击了 10 次，前 9 次已击中 8 次，那么第 10 次一定击中靶心吗？解(1)由题意，得击中靶心的频率与 0.9 接近，故概率约为 0.9(2)击中靶心的次数大约为 3000.9270(次)(3)由概率的意义可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后 30 次中，每次击中靶心的概率仍是 0.9，所以不一定都击不中靶心(4)不一定 2某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了 10 道智力题，每题
4、10 分，然后做了统计，下表是统计结果：贫困地区 参加测试的人数3050100200500800得 60 分以上的人数162752104256402得 60 分以上的频率发达地区 参加测试的人数3050100200500800 得 60 分以上的人数172956111276440得 60 分以上的频率(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得 60 分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；(2)估计两个地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率 解(1)贫困地区 参加测试的人数3050100200500800得 60 分以上的人数162752104256402得 60 分以上的频率 0.533
5、 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503 发达地区 参加测试的人数3050100200500800得 60 分以上的人数172956111276440得 60 分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.503 和 0.550 类型 2 古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型，其具有两大特征：一是样本点的有限性，二是每个基本事件发生的等可能性，在应用公式 P(A)mn时，应正确求出样本空间的样本点，总数和事件 A 中所包含的样本点数，常用枚举法或树状图法求解样本点个数【
6、例 2】某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 Sxyz 评价该产品的等级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5 质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件
7、产品的综合指标 S都等于 4”，求事件 B 发生的概率 解(1)计算 10 件产品的综合指标 S，如下表，产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S4463454535 其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9，共 6 件，故该样本的一等品率为 6100.6，从而可估计该批产品的一等品率为 0.6(2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共 15 种 在该样本的一等品中，综
8、合指标 S 等于 4 的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共 6 种 所以 P(B)61525 跟进训练3甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率 解 甲有 3 种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的 3 种不同出法 一次出拳游戏共有 339 种不同的结果，可以认为这 9 种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9 平局的含义是两人出法相同例如都出了锤子甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出
9、剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这 3 种情况乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这 3 种情况 设平局为事件 A，甲赢为事件 B，乙赢为事件 C 由图容易得到：(1)平局含 3 个基本事件(图中的)；(2)甲赢含 3 个基本事件(图中的)；(3)乙赢含 3 个基本事件(图中的)由古典概型的概率计算公式，可得 P(A)3913；P(B)3913；P(C)3913 4先后随机投掷 2 枚均匀的正方体骰子，其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数，y 表示第 2 枚骰子出现的点数(1)求点 P(x，y)在直线 yx1 上的概率；(2)求点 P(x，y)满足 y24x 的概
10、率 解(1)投掷每枚骰子出现的点数都有 6 种情况，所以基本事件总数为 6636 记“点 P(x，y)在直线 yx1 上”为事件 A，A 有 5 个基本事件：A(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)P(A)536(2)记“点 P(x，y)满足 y24x”为事件 B，当 x1 时，y1；当 x2 时，y1，2；当 x3 时，y1，2，3；当 x4 时，y1，2，3；当 x5 时，y1，2，3，4；当 x6时，y1，2，3，4 则事件 B 有 17 个基本事件 P(B)1736 类型 3 互斥事件和对立事件的概率(1)互斥事件的概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B)(2)对
11、于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题【例 3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同的题目，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3，2 个判断题记为 p1，p2“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，
12、p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共 6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是 P1 620 310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是 P2 620 310故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断
13、题”的概率为 PP1P2 310 31035(2)甲、乙两人都抽到判断题的概率是 220 110，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 1 110 910 跟进训练5甲、乙两人举行比赛，比赛结果有胜、负、平三种情况，甲胜的概率是 30%，甲、乙平的概率是 50%，那么(1)甲负的概率是多少？(2)甲不输的概率是多少？解 记“甲胜”为事件 A，“甲、乙平”为事件 B，“甲负”为事件 C，则 A，B，C 两两互斥，且 P(A)P(B)P(C)1(1)P(C)1P(A)P(B)130%50%20%故甲负的概率是 20%(2)P(AB)P(A)P(B)30%50%80%故甲不输的概率是 80%6
14、由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345 个人及以上 概率0.20.140.40.10.10.06 求：(1)“至多有 2 个人排队”的概率；(2)“至少有 2 个人排队”的概率 解(1)设“没有人排队”为事件 A，“有 1 个人排队”为事件B，“有 2 个人排队”为事件 C，则 P(A)0.2，P(B)0.14，P(C)0.4 由题意知，A，B，C 彼此互斥，所以“至多有 2 个人排队”的概率为 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.140.40.74，即“至多有 2 个人排队”的概率是 0.74(2)设“至少有 2 个人排队”为事件 D，则D为
15、“至多有 1 个人排队”，即DAB，因此 P(D)1P(D)1P(AB)1P(A)P(B)10.20.140.66，即“至少有 2 个人排队”的概率是 0.66 类型 4 相互独立事件的概率(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“P(AB)1P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率【例 4】设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立求同一工作日至少
16、3 人需使用设备的概率 解 设“甲需使用设备”为事件 A，“乙需使用设备”为事件B，“丙需使用设备”为事件 C，“丁需使用设备”为事件 D，“同一工作日至少 3 人需使用设备”为事件 E，由题意知，P(A)0.6，P(B)P(C)0.5，P(D)0.4 同一工作日至少 3 人需使用设备表示恰有 3 人或 4 人需使用设备，又事件 A，B，C，D 相互独立，且 ABCD，ABCD，ABCD，A BCD，ABCD 互斥，故 P(E)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD)0.31 跟进训练7某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件 1或元件 2 正常工作，且
17、元件 3 正常工作，则部件正常工作设元件 1，2，3 的使用寿命超过 1 000 小时的概率都是12，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 解 设元件 1，2，3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A，B，C，显然 P(A)P(B)P(C)12，该部件的使用寿命超过1 000 小时的事件为(AB ABAB)C，该 部 件 的 使 用 寿 命 超 过1 000小 时 的 概 率P 121212121212 1238 体验层真题感悟 NO.3类型1类型2类型3类型41(2020全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
18、 1 200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1 600 份的概率为 0.05志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者()A10 名 B18 名 C24 名 D32 名 1 2 3 4 B 由题意知超市第二天能完成 1 200 份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过 500(1 6001 200)900份订单的概率为 0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率
19、不小于 0.95，至少需要志愿者90050 18(名)，故选 B 1 2 3 4 2(2020天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 16 23 依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为121316，甲、乙两球都不落入盒子的概率为112 113 13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 11323 1 2 3 4 3(2020江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_ 19 一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，可得基
20、本事件的总数为 6636 种，而点数和为 5 的事件为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共 4 种，则点数和为 5 的概率为 P 43619 1 2 3 4 4(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这
21、种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：1 2 3 4 甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD 频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD 频数28173421 1 2 3 4(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？1 2 3 4 解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 401000.4；乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 281000.28 1 2 3 4(2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润6525575 频数40202020 因 此 甲 分 厂 加 工 出 来 的100件 产 品 的 平 均 利 润 为65402520520752010015 1 2 3 4 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润7030070 频数28173421 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 70283017034702110010 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务1 2 3 4 点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
