1、3.3 等比数列巩固夯实基础 一、自主梳理 1.数列an从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数的数列叫等比数列,这个常数叫公比. 2.等比数列an的通项公式an=a1qn-1,前n项和公式Sn= 3.若a、b、c成等比数列,则b叫a与c的等比中项且b=. 4.数列an是等比数列,m、n、p、qN*,且m+n=p+q,则aman=apaq. 二、点击双基1.(2005江苏高考)在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于( )A.33 B.72 C.84 D.189解析：a1+a2+a3=21a1+a1q+a1q2=21a1(1+q+q2)=21.
2、a1=3,1+q+q2=7. q=2或q=-3(舍). a3+a4+a5=a3(1+q+q2)=a1q27=127=84.答案：C2.设an是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1a2a3a30=230,那么a3a6a9a30等于( )A.210 B.220 C.216 D.215解析:由等比数列的定义，a1a2a3=()3,故a1a2a3a30=()3.又q=2,故a3a6a9a30=220.答案:B3.(2004全国高考卷，文)已知等比数列an中，a3=3,a10=384,则该数列的通项an=_.解析:由已知得q7=128=27,故q=2.an=a3qn-3=32n-3.答案:32n-3
3、4.在等比数列an中,若a5-a4=576,a2-a1=9,则前5项和为_.解析：由=q3=64, q=4,代入a2-a1=9得a1=3. S5=1 023.答案:1 023诱思实例点拨 【例1】 已知等比数列an中，a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.剖析:利用等比数列的基本量a1、q,根据条件求出a1和q.解:设an的公比为q,由题意知 解得 或 an=2n-1或an=23-n.讲评:转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.【例2】 已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列:，恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+kn.剖析
4、:运用等差(比)数列的定义分别求得，然后列方程求得kn.解:设an的首项为a1， 、成等比数列， (a1+4d)2=a1(a1+16d). 得a1=2d，=3. =a1+(kn-1)d，又=a13n-1， kn=23n-1-1. k1+k2+kn=2(1+3+3n-1)-n =2-n=3n-n-1.讲评:运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意:是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.【例3】 已知数列an的前n项和为Sn,又有数列bn,它们满足关系b1=a1,对于nN*有an+Sn=n,bn+1=an+1-an,求证bn是等比数列,并求其通项公式.证明:
5、因为an+Sn=n, 所以an-1+Sn-1=(n-1)(n2). 所以-得an-an-1+an=1, 即an=(an-1+1)(n2). 又bn+1=an+1-an=(an+1)-an=(1-an), 所以= =(n2). 由an+Sn=n可得a1+S1=a1+a1=1. 所以a1=b1. 所以b2=(1-a1)= =b1. 故=对于nN*均成立,那么数列bn是等比数列,其通项bn=b1()n-1=.讲评:等比数列的判定方法主要有: (1)定义法:=q(q是不为0的常数,nN*)an是等比数列; (2)通项公式法:an=cqn(c、q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列; (3)等比中项公式法:an+12=anan+2(an、an+1、an+2不为零,nN*)an是等比数列.链接提示 1.an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件. 2.若证an不是等比数列,只需证ak2ak-1ak+1(k为常数,kN,且k2).
