1、3.4 等差数列与等比数列的综合问题巩固夯实基础 一、自主梳理 1.等差数列的性质 (1)若数列an是公差为d的等差数列,则am=ak+(m-k)d,数列an+b(、b为常数)是公差为d的等差数列. (2)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等差数列,公差为md. (3)若an是等差数列,A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n,则A、B、C成等差数列,公差为n2d. (4)若等差数列an的项数为2n(nN*),则S偶-S奇=nd,若等差数列an的项数为2n-1(nN*),则=. 2.等比数列的性质 (1)若数列
2、an是等比数列,则数列1an(1为常数)是公比为1q的等比数列. (2)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等比数列,公比为qm. (3)若an是等比数列,设A=a1+a2+a3+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n,则A、B、C成等比数列,公比为qn. 设M=a1a2a3an,N=an+1an+2a2n,P=a2n+1a2n+2a3n,则M、N、P仍为等比数列,公比为(qn)n. 二、点击双基1.等比数列an的公比为q,则“q1”是“对于任意自然数n，都有an+1an”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充
3、要条件 D.既不充分又不必要条件解析:当a120.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn的公式;(3)设Pn=b1+b4+b7+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+b2n+8,其中n=1,2,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:(1)设an的公比为q,由a3=a1q2得q2=9,q=3. 当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=1420矛盾,故舍去. 当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=2620,故符合题意. 设数列bn的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26. 又b
4、1=2,解得d=3,所以bn=3n-1. (2)Sn=n2+n. (3)b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列, 所以Pn=nb1+3d=n2-n; b10,b12,b14,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29, 所以Qn=nb10+2d=3n2+26n. Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19). 所以,对于正整数n,当n20时,PnQn; 当n=19时,Pn=Qn; 当n18时,Pn1,公比q0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3)
5、试比较an与Sn的大小.剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.(1)证明:bn=log2an, bn+1-bn=log2=log2q为常数. 数列bn为等差数列且公差d=log2q.(2)解:b1+b3+b5=6,b3=2. a11,b1=log2a10. b1b3b5=0,b5=0. 解得 Sn=4n+(-1)=. an=25-n(nN*). (3)解:显然an=25-n0,当n9时，Sn=0. n9时，anSn. a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, 当n=3,4,5,6,7,8时，anSn.评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.链接聚焦 在解决等差数列和等比数列的问题时,恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度和准确度,但等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和的公式仍是我们学习的基础和重点,否则,弄巧成拙.