1、9.8 空间角巩固夯实基础 一、自主梳理 1.过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a与b,那么直线a与b所成的不大于90的角,叫做异面直线a与b所成的角. 2.平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角. 3.过二面角-l-棱上任一点O作垂直于棱l的平面,与面、的交线分别为OA、OB,那么AOB叫做二面角-l-的平面角. 4.求线面角和二面角可以转化为平面角去求解,也可以转化为空间两个向量的夹角去求解. (1)异面直线所成角的向量公式 两异面直线a、b的方向向量分别为m和n.当m与n的夹角不大于90时,异面直线a、b所成的角与m和n的夹角相等;当m与n的夹角大于90时
2、,直线a、b所成的角与m和n的夹角互补.所以直线a、b所成的角=arccos,(0,). (2)直线与平面所成角的向量公式 直线a的方向向量和平面的法向量分别为m和n,若m与n的夹角不大于90时,直线a与平面所成的角等于m与n的夹角的余角;若m与n的夹角大于90时,直线a与平面所成的角等于m与n的夹角的补角的余角,所以直线a的方向向量和平面所成的角=-arccos 或=arcsin, 0,. (3)平面与平面所成角的向量公式 平面与平面的法向量分别为m和n,则二面角与m、n的夹角相等或互补. =arccos. 当二面角-l-大于90时,二面角=-arccos; 当二面角-l-小于90时,二面角
3、=arccos. 除利用上面公式计算面面角外,还可以直接在两个平面内分别作垂直于两平面交线的向量m、n,通过计算向量m、n的夹角来计算两平面的夹角.注意向量m、n的夹角与两平面的夹角的关系. 二、点击双基1.如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍,那么这条斜线与平面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析:由直线与平面所成角的定义易知,选A.答案:A2.平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为( )A.30 B.60 C.90 D.150解析:本题易误选D，因斜线和内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90.答案:C3.在如图所示的正方
4、体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( )A.- B.- C. D.解法一:供9(B)选用建立空间直角坐标系如图.不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,2). 所以=(-2,2,0),=(0,1,2), cos,= =.解法二:取A1D1中点F,连结EF、DF,则EFAC.在EFD中,由余弦定理可求得cosDEF=.答案:D4.在ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,PM平面ABC,当BC=18,PM=3时,PN和平面ABC所成的角是_.解析:PM平面ABC,PNM为PN与平面ABC所成的角,tanPNM=
5、.PNM=30.答案:305.PA、PB、PC是从P点引出的三条射线,它们之间每两条的夹角都为60,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_.解:构造正四面体如图,取AB中点D,连结PD,则CPD为直线PC与平面PAB所成的角. 过C作COPD于O,则O为正三角形PAB的中心. 设PC=a,则PO=a, 在RtPOC中,求得cosCPD=. 或由cos60=cosCPDcos30cosCPD=.答案:诱思实例点拨【例1】如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.(1)求B1C1与平面AB1C所成角的正切值;(2)求二面角B-B1D-C1的平面角的大小.(1)解:设AB1A1B=O,
6、 BCB1C1, BC与面AB1C所成的角即为所求. ACB=BCB1, BC在面AB1C上的射影在OC上,BCO即BC与面AB1C所成的角,tanBCO=.(2)解法一:BOAB1,C1B1BO, BO平面AB1C1D. 作OEDB1于点E,连结EB,则EBDB1,BEO为所求二面角的平面角的补角, OE=B1OsinEB1O=,BO=, tanBEO=3,BEO=60. 所求二面角的平面角为120. 解法二:取D1A、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则B(1,1,1)、D(0,0,1)、C1(0,1,0)、B1(1,1,0),AB1、D1B1的中点分别为O(1,)、O1(
7、,0), =(-1,-)(1,1,-1)=0,=(,1)(1,1,-1)=0, OC1DB1,O1BDB1. cos=-. 所求二面角的平面角为120.链接提示 高考重视二面角的考查,重点是三垂线法作二面角的平面角:首先要找到从二面角的一个面到另一面的一条垂线,再用三垂线定理作出二面角的平面角.对于新教材而言,三垂线定理的意义主要在这里.也可通过求二面角两个面的两个法向量的夹角,求得相应二面角.【例2】在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC=90,SA面ABCD,SA=AB=BC=2AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.剖析:显然,本题中的二面角只有一个公共顶点,属“无棱二面角
8、”,若从定义法入手,必须再找一个公共点,容易发现BA、CD相交,可得交点E,则SE为二面角的棱.解法一:(定义法)如图,延长BA、CD交于E,连结SE,则SE为所求二面角的棱. ADBC,BC=2AD, EA=AB=SA. ESB是直角三角形,且SESB. 又BCAB,BCSA,BC平面SBE. SB是SC在面SBE上的射影. SESC. BSC是所求二面角的平面角. 在RtSAB中,易得SB=AB. 在RtSBC中,SC=AB. cosBSC=,即面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为.解法二:(射影法)如上图,SA面ABCD,SABC. 又ABBC,BC面SAB,而ADBC, AD面SA
9、B. SDC在面SAB上的射影是SAB. 于是cos=. SA=AB=BC=2AD, SB=AB,SC=AB. SD=DC=AB, 易求得SDC中SC边上的高为, SSDC=AB2,SSAB=AB2.cos=. 故所求二面角的余弦值是.解法三:(向量法)如图所示建立空间直角坐标系Axyz. 设AD=1,则SA=AB=BC=2,于是A(0,0,0),D(0,1,0),C(-2,2,0),S(0,0,2),=(0,1,0)为面SAB的一个法向量,=(0,1,-2),=(-2,2,2). 设n=(a,b,1)是面SDC的一个法向量,由n=0和n=0得 a=1,b=2. n=(1,2,1).cosn,
10、=. 由图可知,所求二面角的余弦值为.讲评:本题是一个没给出棱的二面角求解问题,分别采用三种方法求解.值得认真体会,优化解题思想方法.【例3】已知异面直线a、b所成的角为70,则过空间任意一点M可作多少条不同的直线与a、b所成的角都是55.解:过M作aa,bb,分直线与a、b共面和异面两种情况讨论. (1)当所作直线与a、b共面时,只有平分110角的直线l符合题意. (2)当所作直线l与a、b不在同一平面内时(如图),在l上取一点P,作PO于O,由于PM与a、b所成的角相等(55),因此,P在上的射影O在70角的平分线l1上. PMA=55,AMO=35,PMO=, 则cos55=coscos35. cos=1,存在且唯一. 同理,相应的与l关于l1对称的直线l也适合.因此,满足条件的直线有三条.讲评:平行性不改变异面直线成角关系,本题类型的成角问题要先平移成相交直线,借助数形结合,综合分析解决,主要考查空间构图及异面直线成角.也是高考主要考查点.