1、12.3 统计巩固夯实基础 一、自主梳理 1.抽样 当总体中的个体较少时，一般可用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般可用分层抽样，而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样，主要有两种方法:抽签法和随机数表法. 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样就显得不方便，系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样. 分层抽样在内容上与系统抽样是平行的，在每一层进行抽
2、样时，采用简单随机抽样或系统抽样，分层抽样也是等概率抽样. 2.样本与总体 用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图，当总体中的个体取不同值较多,甚至无限时，其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识. 用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外，还可以从特征数上进行估计，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差(标准差)去估计总体的方差(标准差). 3.正态分布 正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺寸
3、等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验. 4.线性回归直线 设x、y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观察值的n个点大致分布在一条直线的附近，我们把整体上这n个点最接近的一条直线叫线性回归直线.链接提示 在三种抽样中,简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法,其他两种抽样方法是建立在它的基础上的.三种抽样方法的共同点是:它们都是等概率抽样,体现了抽样的公平性.三种抽样方法各有其特点和适用范围,在抽样实践中要根据具体情况选用相应的抽样方法. 二、点击双基1.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（ ）A.
4、 B. C. D.解析:简单随机抽样中每一个体的入样概率为.答案:C2.(2004江苏高考)某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h解析:一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生数的比，即=0.9 h.答案:B3.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为150号,为了了解他们在课外的兴趣爱好,要求每班的33号学生留下来参加阅卷调查,这里运用的抽样方法是( )A.分层抽样
5、法 B.抽签法 C.随机数表法 D.系统抽样法答案:D4.如果随机变量N(,2),且E=3,D=1,则P（-11等于（ ）A.2(1)-1 B.(4)-(2) C.(2)-(4) D.(-4)-(-2)解析:对正态分布，=E=3,2=D=1,故P（-11=(1-3)-(-1-3) =(-2)-(-4)=(4)-(2).答案:B5.一个容量为20的样本数据,分组后组距为10,区间与频率分布如下:（10,20）,2;（20,30）,3;（30,40,4;（40,50,5;（50,60,4;（60,70,2.则样本在（-,50上的频率为( )A. B. C. D.解析：（-,50）上的频数为14,
6、频率为=.答案:D诱思实例点拨【例1】 某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个.从中抽取一个容量为20的样本.请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.剖析:要说明每个个体被取到的概率相同,只需计算出用三种抽样方法抽取个体时,每个个体被取到的概率.解:（1）简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1160编号，相应地制作1160号的160个签，从中随机抽20个.显然每个个体被抽到的概率为=. (2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个.然后在第1组用抽签法随机抽
7、取一个号码,如它是第k号（1k8）,则在其余组中分别抽取第k+8n(n=1,2,3,19)号，此时每个个体被抽到的概率为. （3）分层抽样法：按比例=，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48=6个，64=8个，32=4个，16=2个，每个个体被抽到的概率分别为，即都是. 综上,可知无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是.讲评:三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同,这样样本的抽取体现了公平性和客观性.【例2】 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d,液体的温度(单位:)是一个随机变量,且N(d,0.52).(1)若d=90,求89的概率;(2)若要
8、保持液体的温度至少为80 的概率不低于0.99,问d至少是多少?其中若N(0,1),则(2)=P(2)=0.977 2,(-2.327)=P(-2.327)=0.01剖析:(1)要求P(89)=F(89), N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是(2)、(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p0.99,解d.解:(1)P(89)=F(89)=()=(-2)=1-(2)=1-0.977 2=0.022 8. (2)由已知d满足0.99P(80), 即1-P(80)1-0.01, P(80)0.01. ()0.01=(-2.327).
9、 -2.327. d81.163 5. 故d至少为81.163 5.讲评:(1)若N(0,1),则=N(0,1). (2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x0时,f(x)为减函数.链接提示 在实际生活中,常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格,方法是:(1)提出统计假设:某种指标服从正态分布N(,2);(2)确定一次试验中的取值a;(3)作出统计推断:若a(-3,+3),则接受假设;若a(-3,+3),则拒绝假设. 如:某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”服从正态分布N(30,0.8),质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块,测得它的抗断强度为27.5 kg/cm2,你认为
10、该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么? 思路分析:由于在一次试验中落在区间(-3,+3)内的概率为0.997,故几乎必然落在上述区间内.于是把=30,=0.8代入,算出区间(-3,+3)=(27.6,32.4),而27.5(27.6,32.4). 据此认为这批砖不合格.【例3】 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为:min)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 min可用,问应走哪条路线?(2)若只有65 min可用,又应走哪条路线?剖析:最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线.解:设为行车时间. (1)走第一条路线及时赶到火车站的概率为 P(070)=()-() ()=(2)=0.977 2, 走第二条路线及时赶到火车站的概率为 P(070)()=(2.5)=0.993 8, 因此在这种情况下应走第二条路线. (2)走第一条路线及时赶到火车站的概率为 P(065)()=(1.5)=0.933 2, 走第二条路线及时赶到的概率为 P(065)()=(1.25)=0.894 4, 因此在这种情况下应走第一条路线.讲评:考查一般正态总体在(x1,x2)内取值的概率,并对实际情况作出回答.