1、23平面向量的数量积231向量数量积的物理背景与定义课时目标1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2知道平面向量数量积与向量射影的关系3掌握平面向量数量积的运算性质及常用公式，并会应用这些公式进行计算或证明1两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则_称作向量a和向量b的夹角，记作_，并规定它的范围是_在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，b_(2)当_时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作_，在讨论垂直问题时，规定零向量与_垂直2向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称
2、射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在_的数量或在_的数量a的轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al_3向量的数量积(内积)_叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab即ab_一、选择题1若ab0，则a与b的夹角的取值范围是()A0，) B，) C， D0，2若ab9，|a|3，a，b，则|b|等于()A3 B6 C9 D123|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于()A3 B2 C2 D14已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A B C D15在边长为1的等边
3、ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B0 C D36设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b等于()A150 B120 C60 D30二、填空题7已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的正射影的数量为_8已知正三角形ABC的边长为1，则_9如图RtABC中A90，AB1，则的值是_10给出下列命题中，若a0，则对任一向量b，有ab0；若a0，则对任意一个非零向量b，有ab0；若a0，ab0，则b0；若ab0，则a、b至少有一个为0；若a0，abac，则bc；若abac，且bc，当且仅当a0时成立其中正确命题的序号是_三、解答题11已知|a|4，|b
4、|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积12已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|能力提升13设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角14已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的正射影的数量1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分
5、开来，绝不可混淆3ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的射影的数量和a在b方向上的射影的数量，要结合图形严格区分23平面向量的数量积231向量数量积的物理背景与定义答案知识梳理1(1)AOBa，b0a，bb，a(2)a，bab任意向量2轴l上轴l的方向上|a|cos 3|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b作业设计1C2B3Da在b方向上的正射影的数量是|a|cos 2cos 12014A(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b2121805Aab|cos 60同理bc，ca，abbcca6Babc，|c|2|ab|2a22abb2又
6、|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2cosa，b，a，b1207解析|a|cosa，b|a|8解析与的夹角为120|cos 12011()91解析|cos，|cosB|2110解析由ab|a|b|cosa，b知a0，ab0，正确；由abab0易知均错误11解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 43cos 012若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，ab|a|b|cos 904300(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 6043612解ab|a|b|cos 55|ab| 5|ab| 513解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121设a与b的夹角为，则cos 又0，故a与b的夹角为14解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012|ab|1|2ab|cos2ab，ab|2ab|向量2ab在向量ab方向上的射影为