1、15.3 互斥事件和独立事件 第2课时 独立事件 第15章 概率 学 习 任 务核 心 素 养 1了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件(难点)2掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率(重点)3了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题(易错点)1借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽象的核心素养 2通过具体的实际问题的研究，培养数学建模的核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备
2、在前两天中随机选一天记事件 A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天(1)直觉上，你觉得 A 事件是否发生会影响 B 事件发生的概率吗？(2)求出 P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系 知识点 1 相互独立事件的概念 一般地，如果事件 A 是否发生_事件 B 发生的概率，那么称 A，B 为相互独立事件 不影响1一个口袋中装有 2 个白球和 3 个黑球，下列各选项中的两个事件，属于相互独立事件的是()A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球 C摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球 D一次摸两个球，共摸两次，
3、第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球 B 选项 A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，属于对立事件；选项 B，摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，两者不受彼此影响，属于相互独立事件；选项 C，摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不属于相互独立事件；选项 D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，属于对立事件故选 B 知识点 2 相互独立事件的概率计算(1)两个事件 A，B 相互独立的充要条件是_(2)若事件 A1，A2，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率 P(A1A2An)P
4、(A1)P(A2)P(An)P(AB)P(A)P(B)2已知 A，B 是相互独立事件，且 P(A)12，P(B)23，则P(AB)_ 13 由题意可知 P(AB)P(A)P(B)122313 知识点 3 相互独立事件的性质 如果事件 A 与 B 相互独立，那么_与B，A与_，A与B也相互独立 AB(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗？(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗？提示(1)相互独立不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响(2)相互独立必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)对事件 A 和 B，若 P(AB)P(A)P(B)，则
5、事件 A 与 B 相互独立()(2)若事件 A，B 相互独立，则 P(A B)P(A)P(B)()(3)如果事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)()(4)若事件 A 与 B 相互独立，则 B 与 B相互独立()提示 若 P(AB)P(A)P(B)，则 P(AB)P(A)P(B)，故 A，B相互独立，所以(1)正确；若事件 A，B 相互独立，则A，B也相互独立，故(2)正确；若事件 A，B 相互独立，则 A 发生与否不影响 B 的发生，故(3)正确；(4)B 与B相互对立，不是相互独立，故(4)错误 答案(1)(2)(3)(4)合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3
6、 类型 1 相互独立事件的判断【例 1】判断下列各对事件是否是相互独立事件(1)甲组 3 名男生，2 名女生，乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”解(1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立
7、事件(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记 A：出现偶数点，B：出现 3 点或 6 点，则 1，2，3，4，5，6，A2，4，6，B3，6，AB6，P(A)3612，P(B)2613，P(AB)16 P(AB)P(A)P(B)，事件 A 与 B 相互独立 判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件 A，B 相互独立P(AB)P(A)P(B)(2
8、)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 跟进训练1同时掷两颗质地均匀的骰子，令 A第一颗骰子出现奇数点，令 B第二颗骰子出现偶数点，判断事件 A 与 B 是否相互独立 解 样本空间(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，
9、(6，5)，(6，6)，A第一颗骰子出现 1，3，5 点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，B第二颗骰子出现 2，4，6 点(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)AB(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，
10、2)，(5，4)，(5，6)，P(A)12，P(B)12，P(AB)14，P(AB)P(A)P(B)，事件 A，B 相互独立 类型 2 相互独立事件发生的概率【例 2】面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有 A，B，C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率 解 令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A，B，C 相互独立，且 P(A)15，P(B)14，P(C)13(1)他们都研制出疫苗，即事件
11、 ABC 同时发生，故 P(ABC)P(A)P(B)P(C)151413 160(2)他们都失败即事件A B C同时发生 故 P(A B C)P(A)P(B)P(C)(1P(A)(1P(B)(1P(C)115 114 113 45342325(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 P1P(A B C)12535 1求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积 2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的
12、，而且它们能同时发生 跟进训练2一个袋子中有 3 个白球，2 个红球，每次从中任取 2 个球，取出后再放回，求：(1)第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率；(2)第 1 次取出的 2 个球中 1 个是白球、1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率 解 记“第 1 次取出的 2 个球都是白球”的事件为 A，“第 2次取出的 2 个球都是红球”的事件为 B，“第 1 次取出的 2 个球中 1个是白球、1 个是红球”的事件为 C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C 都是相互独立事件 记 3 个白球分别为白 1，白 2，白 3，2 个红球为红
13、 1，红 2，从 5个球中一次取 2 个球的取法有(白 1，白 2)，(白 1，白 3)，(白 1，红 1)，(白 1，红 2)，(白 2，白 3)，(白 2，红 1)，(白 2，红 2)，(白 3，红 1)，(白3，红 2)，(红 1，红 2)共 10 种其中 2 个球都是白球有 3 种，2 个球都是红球有 1 种，1 个白球，1 个红球有 6 种(1)P(AB)P(A)P(B)310 110 3100 故第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率是 3100(2)P(CA)P(C)P(A)610 310 950 故第 1 次取出的 2 个球中 1 个是白球
14、、1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率是 950 类型 3 事件的相互独立性与互斥性【例 3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A，B，C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜C 的概率分别为 0.6，0.5，0.5假设各盘比赛结果相互独立求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.解 设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 D，E
15、，F分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件 因为 P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知 P(D)0.4，P(E)0.5，P(F)0.5(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有 D E F，D E F，DE F，以上三个事件彼此互斥且独立 所以红队有且只有一名队员获胜的概率为 P1P(D E FDE FD E F)P(D E F)P(D E F)P(D E F)0.60.50.50.40.50.50.40.50.50.35(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F，D EF，DEF，DEF 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队
16、至少两人获胜的概率为 PP(DE F)P(D EF)P(DEF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55 法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件 D E F，且 P(D E F)0.40.50.50.1 红队至少两人获胜的概率为 P21P1P(D E F)10.350.10.55 求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算 跟进训练3某田径
17、队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大 解 记甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，则 P(A)25，P(B)34，P(C)13 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k0，1，2，3)(1)三人都合格的概率：P3(ABC)P(A)P(B)P(C)253413 110(2)三人都不合格的概率：P0(A
18、B C)P(A)P(B)P(C)351423 110(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB C)P(A BC)P(ABC)2534232514133534132360 恰有一人合格的概率：P11P0P2P31 1102360 1102560 512 综合(1)(2)可知 P1 最大 所以出现恰有一人合格的概率最大当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1抛掷 3 枚质地均匀的硬币，A既有正面向上又有反面向上，B至多有一个反面向上，则 A 与 B 的关系是()A互斥事件B对立事件 C相互独立事件D不相互独立事件 C 由于事件 A 的发生与否对于事件 B 的发生不产生影响，则事件 A 与事件
19、B 相互独立，故选 C 1 2 3 4 5 2若 P(AB)19，P(A)23，P(B)13，则事件 A 与 B 的关系是()A事件 A 与 B 互斥B事件 A 与 B 互为对立 C事件 A 与 B 相互独立D事件 A 与 B 互斥又独立 C 因为 P(A)1P(A)12313，所以 P(AB)P(A)P(B)190，所以事件 A 与 B 相互独立，不是互斥、对立事件故选 C 1 2 3 4 5 3甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是15，13，14，则此密码能被译出的概率是()A 160 B25 C35 D5960 1 2 3 4 5 C 用事件 A，B，C 分别表示甲、乙、丙
20、能译出密码，则 P(A)15，P(B)13，P(C)14，所以 P(A B C)P(A)P(B)P(C)45233425，所以此密码能被译出的概率为 12535故选 C 1 2 3 4 5 4甲、乙两人投球命中率分别为12，23，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为_ 12 事件“甲投球一次命中”记为 A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件 C，则 CABAB 且 AB与 AB 互斥，P(C)P(AB AB)P(A)P(B)P(A)P(B)121312233612 5 1 2 3 4 5甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，
21、0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_ 0.24 0.96 三人都达标的概率为 0.80.60.50.24 三 人 都 不 达 标 的 概 率 为(1 0.8)(1 0.6)(1 0.5)0.20.40.50.04 三人中至少有一人达标的概率为 10.040.96 回顾本节知识，自我完成以下问题：1你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？提示 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件互斥事件 条件事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件 相互独立事件互斥事件 符号相互独立事件 A，B 同时发生，记作：AB互斥事件 A，B 中有一个发生，记作：AB(或 AB)计算公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)2你能归纳一下求复杂事件概率的步骤吗？提示(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!