1、2.11 函数的应用巩固夯实基础 一、自主梳理 解函数应用问题的基本步骤 第一步:阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
2、 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答. 二、点击双基1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价( )A.10% B.9% C.11% D.11%解析:设提价x%,则a(1-10%)(1+x%)=a,x=11.答案:D2.今有一组实验数据如下:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A.v=log2t B.v=t C.v= D.v=2t-2解析:特值检验，如:当t=4时，v=7.5.答案:C3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
3、( )A.3 B.4 C.6 D.12解析:设隔墙的长为x(0x6),矩形面积为y，y=x=2x(6-x),当x=3时，y最大.答案:A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y,则x、y之间的函数关系式为_.答案:y=5.用清水洗衣服,若每次能去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是_.解析：设至少要清洗x次, 则由题意得(1-)x, 取对数得xlg3.321. 因为x是整数,所以x的最小值是4.答案:4诱思实例点拨 【例1】 (1)一种产品的年产量原来是A件，在今后年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的
4、函数关系式.(2)一种产品的成本原来是A元，在今后年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解:(1)设年产量经过x年增加到y件，则 y=a(1+p%)x(x*且x). (2)设成本经过x年降低到y元，则 y=a(1-p%)x(x*且x).【例2】 一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优惠政策,甲旅行社承诺:如果父亲买一张全票,则其家庭成员(母亲与孩子,不论孩子多少)均可享受半价;乙旅行社承诺:家庭旅行算团体票,按原价的计算,这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同(至少一个),试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的
5、孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪一家旅行社更优惠?剖析:首先建立甲、乙两家收费与孩子个数的函数式,再比较大小.解:设两家旅行社的原价为a(a0),家庭孩子的个数是x(xN*),甲、乙两家旅行社收费分别是f(x)元、g(x)元, 则由题意,得 f(x)=a+(x+1)=x+a(xN*),g(x)=(x+2)a=x+(xN*). 令g(x)f(x),即x+ax+a.解得x1. 所以当家庭孩子是1个时,两家旅行社随便选择,当家庭孩子多于1个时,应选择甲旅行社.【例3】 某地区上年度电价为0.8元/(千瓦时)，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元(千瓦时)至0.75元(千瓦时)之间
6、，而用户期望电价为0.4元(千瓦时).经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元(千瓦时).(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2 A，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注:收益=实际用电量(实际电价-成本价)解:(1)设下调后的电价为x元(千瓦时)，依题意知用电量增至+a，电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55x0.75). (2)依题意有 整理,得 解此不等式,得0.60x0.75. 答:当电价最低定为0.60元(千瓦时)时，仍可
7、保证电力部门的收益比去年至少增长20%.链接拓展 某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(xN*),且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用.试问:能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 提示:设全年的运输和保管总费用为y元， 则y=400+k(2 000x). 据题设，x=400时，y=43 600,解得k=5%. y=+100x2=2 400(元)
8、. 因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用. 答案:每批购入120台可使资金够用.【例4】 某乡有A、B、C、D四个村庄,恰好座落在边长为2 km的正方形顶点上,为发展经济,当地政府决定建立一个使得任何两个村庄都有通道的路网,道路网由一条中心道及四条支线组成,要求四条支道的长度相等.(如上图所示)(1)若道路的总长度不超过5.5 km,试求中心道长的取值范围.(2)问中心道长为何值时,道路网的总长度最短?剖析:以中心道长度为变量,建立道路网的总长度的解析式,然后按求函数的方法求解.解:设中心道长度为2x km(0x1). (1)由题意得2x+45.5, 化简,得48x2-40x+70. 解得x. 所以中心道长的取值范围是,. (2)因为y=2x+4, 所以(y-2x)2=16(2-2x+x2). 所以12x2+(4y-32)x+32-y2=0. 因为0x0,所以y2+2. 将ymin=2+2代入得 12x2+(8+8-32)x+32-(2+2)2=0x=1-. 答:当道路网长度不超过5.5 km时,中心道长的取值范围为,;中心道长为(2-) km时,道路网总长度最短.讲评:在实际问题中建立函数关系时,首先要选取自变量,自变量选取恰当与否对于解决问题简便与否有直接的关系.