1、第六章 不等式网络体系总览考点目标定位 1.不等式、不等式的基本性质. 2.不等式的证明、不等式的解法. 3.含绝对值的不等式.复习方略指南 本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何知识综合在一起来考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明. 考题往往借助不等式的性质及证明，考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点. 本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意： 1.复习不等式的性质时，要
2、克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据. 2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度. 3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用. 5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”. 6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义. 7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的区别与联系.6.1 不等式的性质巩
3、固夯实基础 一、自主梳理 1.实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据,也是求差法的依据. (1)aba-b0;(2)a=ba-b=0;(3)aba-bbbb,c为整式或实数a+cb+c. 单向性: (3)定理2(传递性):ab,bcac. (4)定理3推论(叠加性):a+cb+d. (5)定理4(可乘性):acbc;acbd. (7)定理4推论2(可乘方性):ab0anbn(nN*且n1). (8)定理5(可开方性):ab0(nN*且n1). 3.重要不等式、结论 (1)a、bR,a2+b22ab当且仅当a=b时取等号; (2)a、bR+,当且仅当a=b时取等号; (3)ab,ab
4、0. 二、点击双基1.若ab B.2a2b C.|a|b| D.()a()b解析：由ab0, 因此a成立; 由ab-b0. 因此|a|b|0成立. y=()x是减函数,()a()b成立.故B不成立.答案：B2.(经典回放)设a、b、c、dR,且ab,cd,则下列结论中正确的是( )A.a+cb+d B.a-cb-d C.acbd D.解析：ab,cd,a+cb+d.答案：A3.若x1y,下列不等式中不成立的是( )A.x-11-y B.x-1y-1 C.x-y1-y D.1-xy-x解析：利用不等式的性质直接判断.答案：A4.(2006北京东城检测)已知a0,b B.a C.a D.a解析:因
5、为a0,b0,b1.1.又aa. a.故选C.答案:C5.ab0,m0,n0,则,由大到小的顺序是_.解析：取特殊值.如a=2,b=1,m=n=1, 则=,=2, =,=. .答案:诱思实例点拨【例1】 已知x,则(1)1-x的取值范围是,;(2)x(1-x)的取值范围是,.以上命题是否正确,若错误予以纠正;若正确,请予证明.剖析:(1)已知x的取值范围可求得-x的取值范围进而可求出1-x的取值范围. (2)由x以及1-x的取值范围求x(1-x)的取值范围时,利用不等式的叠乘性要注意等号成立的条件.解:(1)该命题正确. x,-x-. 1-x, 即1-x的取值范围是,. (2)该命题不对. x
6、,1-x, x(1-x)(等号成立的条件不一致) 正确解法应为x(1-x)=-x2+x=-(x-)2+在,上单调递增,在,上单调递减. 故x(1-x)的取值范围是,.讲评:不等式的性质中,同向不等式可以作加法运算,同向不等式两边为正时,可以作乘法运算.但如果涉及到等号,能否取到最值,则要同时满足各个取等条件,这一点常易疏漏.【例2】 已知aR,试比较与1+a的大小.剖析:要判断与1+a的大小,只需研究它们差的符号.解:-(1+a)=. (1)当a=0时,=0,=1+a. (2)当a0, 1+a. (3)当a1时,0,2ab+4a,则a、b应满足的条件是_. 提示:原不等式可化为(ab-1)2+
7、(a-2)20. 故a2或b.【例3】 已知x、yR+且2x+y=1,求+的最小值.剖析:本题要求根据条件求最值,如何合理利用条件2x+y=1是解答本题的关键,可在要求的式子上乘以(2x+y),也可通过三角换元转化为三角问题.解:+=+=3+3+2,当且仅当=, 即x=1-,y=-1时取等号. 故+的最小值为3+2.讲评:对于最值问题求解方法较多,但用均值不等式求最值时,要注意三个条件,即:“一正、二定、三相等”.解答此题的关键是把两个分子中的“1”换成“2x+y”，或用下列方法： +=(2x+y)(+)=3+ 或用下面三角换元法: 令x=,y=sin2其中(0,),+= +=+=3+链接聚焦 判断下列解法是否正确?为什么? 1=2x+y2(x、yR+), .2. 又+242,故+的最小值为4.