1、5解析几何时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015郑州市质检)“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析两直线垂直的充要条件为a(a2)30，解得a3或a1，故选B2(文)已知圆O的方程是x2y28x2y100，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()Axy30Bxy30C2xy60D2xy60答案A解析圆O的方程是x2y28x2y100，即(x4)2(y1)27，圆心O(4,1)，设过
2、点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，kOM1，kl1，l的方程为：y1(x3)，即xy30.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y1相切，若直线3x4y200与圆C有公共点，则圆C的面积()A有最大值为B有最小值为C有最大值为4D有最小值为4答案D解析如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y1相切，可得点C的轨迹为抛物线x24y，显然以抛物线x24y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x4y200相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x4y200相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由ACPC可得dy01(点C在直线3x4y200的右方)，即x1，解得x
3、02或x0(舍去)，当x02时，圆心C坐标为(2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4，故应选D3(文)(2015江西上饶三模)已知点M(6,5)在双曲线C：1(a0，b0)上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx答案A解析由条件知渐近线方程为yx.(理)(2015新课标理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120， 则E的离心率为()A.B2C.D答案D解析考查双曲线的标准方程和简单几何性质设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，|AB|BM|，ABM120，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtB
4、MN中，|BN|a，|MN|a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2b2c2a2，即c22a2，所以e，故选D4抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2By22xCx22yDy22x答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则，两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，抛物线C的方程为y22x，故应选B5(文)(2015新课标文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则
5、|AB|()A3B6C9D12答案B解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c2，离心率e，所以a4，所以b2a2c2164，则椭圆方程为1，因为抛物线的准线方程为x2，当x2时，y3，则|AB|236.故本题正确答案为B(理)过原点O作直线l交椭圆1(ab0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sinABF2e，则e()A.BC.D答案B解析记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|2c，四边形AF1BF2为矩形，sinABF2e，|AF2|2ce，|AF1|2(2a|AF2|)2(2a2ce)2，|AF1|2|AF
6、2|2|F1F2|2，(2a2ce)2(2ce)2(2c)2，由此解得e，选B6半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是()A双曲线的一支B椭圆C双曲线的一支或椭圆D双曲线或椭圆答案C解析设O1、O2、O的半径分别为r1、r2、R，且r1r20，当O1与O2外离时，由条件知O1与O2都内切于O，|OO1|Rr1，|OO2|Rr2，|OO2|OO1|r1r2,0r1r2r2，r1r2|O1O2|，点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.7(文)已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(，2) B(1，)C(1
7、,2)D(，1)答案C解析由题意可得，2k12k0，即解得1k2，故选C.(理)(2014广东文，8)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0kb0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1By21C.1D1答案A解析根据条件可知，且4a4，a，c1，b22，椭圆的方程为1.9(文)已知P点是x2y2a2b2与双曲线C：1(a0，b0)在第一象限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率e为()A2BC.D答案C解
8、析设|PF2|x，则|PF1|3x，|F1F2|2|PF1|2|PF2|210x24c2，cx，由双曲线的定义知，2a|PF1|PF2|2x，ax，e，故选C.(理)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2x轴，若，则双曲线的离心率等于()A2B3C.D答案A解析设|AF2|3x，则|AF1|5x，|F1F2|4x，c2x，由双曲线的定义知，2a|AF1|AF2|2x，ax，e2.10(文)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，36，则抛物线的方程为()
9、Ay26xBy23xCy212xDy22x答案D解析F(，0)，设A(x0，y0)，y00，则C(，y0)，B(px0，y0)，由条件知px0，x0，y2p3p2，y0p，B(，p)，A(，p)，C(，p)，(2p,2p)(0,2p)12p236，p，抛物线方程为y22x.(理)过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且2，则双曲线M的离心率是()A.BC.D答案C解析由条件知A(1,0)，l：y2(x1)，双曲线渐近线方程为ybx，2，B在A，C之间，由得B(，)，由得C(，)，再由2得b4，e.11若抛物线y22px上恒有关于直线xy1
10、0对称的两点A、B，则p的取值范围是()A(，0)B(0，)C(0，)D(，0)(，)答案C解析设直线AB：yxb，代入y22px中消去x得，y22py2pb0，y1y22p，x1x2y1y22b2p2b，由条件知线段AB的中点(，)，即(pb，p)在直线xy10上，b2p1，4p28pb4p28p(2p1)12p28p0，0pb0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|F1F2|，且2|PF1|3|QF1|，则椭圆的离心率为()A.BC.D答案A解析由已知得|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a|PF2|2a2c，|QF1|PF1|(ac)，|QF2|2a|
11、QF1|2a(2a2c)ac|PQ|(ac)在PF1F2和PF2Q中，由余弦定理得：cosF2PQ即整理得5c28ac3a20，即5e28e30，e或e1(舍)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(文)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为_答案2解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线1(a0，b0)中c2，又a1，e2.(理)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线1上，则双曲线的离心率为_答案解析不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(
12、c0)，一条渐近线方程为yx，由得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程1，得1，化简，并由c2a2b2得ab，e.14(文)设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|_.答案10解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1x22，且x4y1，x4y2，两式相减整理得，所以直线AB的方程为x2y70，将x2y7代入x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由抛物线定义得|y1y2210.(理)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1
13、，则该椭圆的离心率等于_答案1解析本题考查了椭圆离心率的求解如图，由题意易知F1MF2M且|MF1|c，|MF2|c，2a(1)c，1.15(2015潍坊市模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线方程为_答案y216x解析由圆的面积为36，得圆的半径r6，圆心到准线的距离为6，得p8，所以抛物线方程为y216x.16(文)(2015兰州市诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点，则椭圆C的标准方程为_答案1解析由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以
14、椭圆中b2.因为e，所以a2c，又因为a2b2c2，联立解得c2，a4，所以椭圆C的标准方程为1.(理)(2014安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_答案x2y21解析如图，由题意，A点横坐标为c，c21，又b2c21，y2b4，|AF2|b2，又|AF1|3|BF1|，B点坐标为(c，b2)，代入椭圆方程得，方程为x2y21.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2015唐山市二模)已知抛物线E：x24y
15、，m，n是过点A(a，1)且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D(1)求m的斜率k的取值范围；(2)当n过E的焦点时，求B到n的距离解析(1)m：y1k(xa)，n：y1k(xa)，分别代入x24y，得x24kx4ka40，x24kx4ka40，由10得k2ka10，由20得k2ka10，故有2k220，得k21，即k1或k1.(2)E的焦点F(0,1)，kAFk，所以ak2.k2ka13，B(2k，k2)，所以B到n的距离d4.18(本题满分12分)(2015石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(1,0)且与直线x1相切，设该动圆圆心的
16、轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)已知点A(5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且与曲线E交于M、N两点，求AMN面积的最大值，及此时直线l的方程解析(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y24x.(2)解法一 ：由题意，可设l的方程为yxm，其中0m5 由方程组，消去y，得x2(2m4)xm20当0m5时，方程的判别式(2m4)24m216(1m)0成立设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1x242m，x1x2m2，|MN|x1x2| 4又因为点A到直线l的距离为dSAMN2(5m)2.令f(m)
17、m39m215m25，(0m5)，f(m)3m218m153(m1)(m5)，(0m5)所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减当m1时，f(m)有最大值32，故当直线l的方程为yx1时，AMN的最大面积为8.解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x y m，其中0m5由方程组，消去x，得y24y4m0直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式(4)216m16(1m)0必成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1y24，y1y24m.S(5m) |y1y2|(5m)2(5m)2.令f(m)m39m215m25，(0m5)，f(m)3m
18、218m153(m1)(m5)，(0m0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析(1)依题意知1，解得p.所以曲线C的方程为x2y.(2)由题意直线PQ的方程为：yk(x1)1，则点M(1，0)联立方程组，消去y得x2kxk10，得Q(k1，(k1)2)所以得直线QN的方程为y(k1)2(xk1)代入曲线方程yx2中，得x2x1(1k)
19、20.解得N(1k，(1k)2)所以直线MN的斜率kMN.过点N的切线的斜率k2(1k)由题意有2(1k)解得k.故存在实数k使命题成立(理)(2015郑州市质检)设椭圆C：1(ab0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且SBF1F24，离心率为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点M、N，且满足|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由解析(1)因为椭圆C：1(a0，b0)，由题意得SBF1F22cb4，e，a2b2c2，所以解得所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2y2r2，使得该圆的任意一条切
20、线与椭圆C恒有两个交点M，N，因为|，所以有0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为ykxm，由方程组得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240，x1,2x1x2，x1x2；y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2，要使0，需x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k20，又8k2m240，所以，所以m2，即m或m，因为直线ykxm为圆的一条切线，所以圆的半径为r，r2，r，所求的圆为x2y2，此时圆的切线ykxm都满足
21、m或m，而当切线的斜率不存在时，切线为x与椭圆1的两个交点为或满足0，综上，存在圆心在原点的圆x2y2满足条件20(本题满分12分)(2015北京文，20)已知椭圆C：x23y23.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由分析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e计算离心
22、率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1x2和x1x2，代入到kBM1中，只需计算出等于0即可证明kBMkDE，即两直线平行解析(1)椭圆C的标准方程为y21.所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)直线AE的方程为y1(1y1)
23、(x2)令x3，得M(3,2y1)所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3，得点M(3，)由得(13k2)x26k2x3k230.所以x1x2，x1x2.直线BM的斜率kBM.因为kBM10，所以kBM1kDE.所以BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行21(本题满分12分)(文)(2015南昌市一模)已知圆E：x22经过椭圆C：1(ab0)的左、
24、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且(0)(1)求椭圆C的方程； (2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程解析(1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，F1，E，A三点共线， F1A为圆E的直径，AF2F1F2，F2(c,0)在圆上，c22，c0，c，|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，|AF2|1,2a|AF1|AF2|314，a2，a2b2c2，解得b，椭圆C的方程1.(2)点A的坐标(，1)，(0)，所以直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxm由消去y得，x2mxm220，设M(x1，y1
25、)，N(x2，y2)x1x2m，x1x2m22，2m24m280，2m0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且MF1F230.圆O的方程是x2y2b2.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；(3)过圆O上任意一点Q(x0，y0)作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB的中点为M，求证：|2|.解析(1)设F2、M的坐标分别为(，0)，(，y0)，因为点M在双曲线C上，所以1b21，即y0b2，所以|MF2|b2，在RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2，由
26、双曲线的定义可知|MF1|MF2|b22，故双曲线C的方程为x21.(2)由条件可知两条渐近线方程为l1：xy0，l2：xy0.设双曲线C上的点P(x0，y0)，两渐近线的夹角为，yx的倾斜角为，则coscos(2).点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|，|PP2|，因为P(x0，y0)在双曲线C：x21上，所以2xy2，所以cos()().(3)证明：由题意，要证|2|，即证OAOB设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为x0xy0y2.当y00时，切线l的方程代入双曲线C的方程中，化简得(2yx)x24x0x(2y4)0，所以x1x2，x1x2，又y1y24x0(x1x2)x
27、x1x2，所以x1x2y1y20；当y00时，易知上述结论也成立，即x1x2y1y20.综上所述，OAOB，所以|2|.22(本题满分12分)(文)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，且与抛物线y24x有共同的一个焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP、BP与直线y3分别交于G、H两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段GH的长度的最小值；(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由解析(1)由已知得，抛物线的焦点为(，0)，则c，又b1，由a2b2c2，可得a24.故椭圆C
28、的方程为y21.(2)直线AP的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AP的方程为yk(x2)，从而G(2,3)由得(14k2)x216k2x16k240.设P(x1，y1)，则(2)x1，所以x1，从而y1.即P(，)，又B(2,0)，则直线PB的斜率为.由得所以H(12k2,3)故|GH|212k2|12k4|.又k0，12k212.当且仅当12k，即k时等号成立所以当k时，线段GH的长度取最小值8.(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k.则直线AP的方程为x2y20，此时P(0,1)，|AP|.若椭圆C上存在点T，使得TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，所以T在平行于AP
29、且与AP距离等于的直线l上设直线l：yxt.则由得x22tx2t220.4t28(t21)0.即t22.由平行线间的距离公式，得，解得t0或t2(舍去)可求得T(，)或T(，)(理)设椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，如图若抛物线C2：yx21与y轴的交点为B，且经过F1、F2点(1)求椭圆C1的方程；(2)设M(0，)，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求MPQ面积的最大值解析(1)由题意可知B(0，1)，则A(0，2)，故b2.令y0得x210即x1，则F1(1,0)，F2(1,0)，
30、故c1.所以a2b2c25，于是椭圆C1的方程为：1.(2)设N(t，t21)，由于y2x知直线PQ的方程为：y(t21)2t(xt)即y2txt21.代入椭圆方程整理得：4(15t2)x220t(t21)x5(t21)2200，400t2(t21)280(15t2)(t21)2480(t418t23)，x1x2，x1x2，故|PQ|x1x2|.设点M到直线PQ的距离为d，则d.所以，MPQ的面积S|PQ|d .当t3时取到“”，经检验此时0，满足题意综上可知，MPQ的面积的最大值为.方法点拨1.涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入
31、设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决2涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决3涉及垂直问题可结合向量的数量积解决反馈练习一、选择题1(文)“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C解析若a2，则直线ax2y0平行于直线xy1，反之也成立，即“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充要条件，故应选C.(理)若直线2tx3y20与直线x6ty20平行，则实数t等于()A.或BCD答案B解析由条件知，t.2(文)若直线l1：xay10与直线l2：(a4)x(2
32、a1)y50互相垂直(a0)，则直线l1的倾斜角为()A45B135C60D30或135答案B解析l1l2，1(a4)a(2a1)0，a1或2，a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案A解析由于一个焦点在直线y2x10上，则一个焦点为(5,0)，又由渐近线平行于直线y2x10.则2，结合a2b2c2，c5得，a25，b220，双曲线标准方程为1，选A.(理)(2014江西文，9)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线
33、C的方程为()A.1B1C.1D1答案A解析如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为yx，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与渐近线yx的交点，可求得A点坐标为A(a，b)在RtABO中，|OA|c|OF|4，OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A.6(文)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1BC2D3答案C解析e2，b2c2a23a2，双曲线的两条渐
34、近线方程为yx，不妨设A(，)，B(，)，则ABp，又三角形的高为，则SAOBp，p24，又p0，p2.(理)已知点F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为()A2B5C3D2或5答案B解析由双曲线定义得|PF2|2a|PF1|，|PF1|4a，其中|PF1|ca.当ca2a时，yx在ca，)上为减函数，没有最小值，故ca2a，即c3ae3，yx在ca，)上为增函数，故f(x)minf(ca)ca4a9a，化简得10a27acc20，两边同除以a2可得e27e100，解得e5或e2(舍去)7(2015邯郸市二模)已知点
35、P为椭圆1上一点，点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点I为PF1F2的内心，若PIF1和PIF2的面积和为1，则IF1F2的面积为()A.BC1D2答案B解析由椭圆方程知，a2，c1，设内心到三边距离为d，则由椭圆定义及条件知，SPIF1SPIF2|PF1|d|PF2|d(|PF1|PF2|)d2d1，d，SIF1F2|F1F2|dcd.8抛物线yx2(2x2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是()A1B2C2D4答案B解析当x2时，y4，设正方体的棱长为a，由题意知(a,4a)在抛物线yx2上
36、，4aa2，a2.9(文)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于()A.BC.D答案D解析A在以OF为直径的圆上，AOAF，AF：y(xc)与yx联立解得x，y，AOF的面积为b2，cb2，e.(理)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为()A.BC.D答案A解析依题意得2c，c2aca20，即e2e10，(e)2，又e1，因此e，e，故选A.10(2015洛阳市期末)若直线l：axby10(a0，b0)始
37、终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则a2b22a2b3的最小值为()A.BC2D答案B解析由题意知直线经过圆心(2，1)，2ab10，(a1)2(b1)2的最小值为(1,1)到直线2ab10的距离的平方，即2，a2b22a2b3的最小值为1.11(2014唐山市二模)已知椭圆C1：1(ab0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A，1)B，C，1)D，1)答案C解析如图，设切点为A、B，则OAPA，OBPB，APB90，连接OP，则APO45，AOPAb，OPb，ab，a22c2，e，又e1，e0)的
38、焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若A(3，y0)且AF4，则OAB的面积为()A.BC.D答案C解析 由条件及抛物线的定义知，43，p2，抛物线方程为y24x，A(3,2)，kAF，lAB：y(x1)，由可得3(x1)24x0，解得x13，x2，所以y12，y2，SAOB|OF|y1y2|1.二、填空题13已知圆C：(x1)2y28.若点Q(x，y)是圆C上一点，则xy的取值范围为_答案5,3分析设xyt，则Q是C与直线xyt的公共点，则问题转化为直线与C有公共点时，求参数t的取值范围问题解析设xyt，Q(x，y)是C上任意一点，直线与圆相交或相切，2，5t3.14已知圆C的圆心
39、与抛物线y24x的焦点F关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A、B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_答案x2(y1)210分析由圆心C与F关于直线yx对称可求得C点坐标，再由弦长|AB|6可求得圆的半径，进而可得圆的方程解析抛物线y24x的焦点F(1,0)关于直线yx的对称点C(0,1)是圆心，C到直线4x3y20的距离d1，又圆截直线4x3y20的弦长为6，圆的半径r.圆方程为x2(y1)210.15(文)已知直线axby1(其中a、b为非零实数)与圆x2y21相交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB为直角三角形，则的最小值为_答案4解析AOB为等腰直角三角形，O的半径为1，O到
40、直线axby10的距离为，即，2a2b22，()()24，等号在，即b22a21时成立，所求最小值为4.(理)过抛物线y24x的焦点F作一条倾斜角为，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2y2有公共点，则的取值范围是_答案，解析F(1,0)，直线AB：ytan(x1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d，tan.(1)将yk(x1)代入y24x中消去y得，k2x2(2k24)xk20，x1x2，y1y2k(x1x22)，AB的中点坐标为P(，)，|AB|8，P到准线的距离14，|k|1，|tan|1，(2)由(1)(2)得或.16(文)(2014吉林市质检)已知点F为抛物线y28x的焦
41、点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值是_答案2分析设O关于直线x2的对称点为O，则|PA|PO|PA|PO|，故当P、A、O三点共线时取到最小值解析如图，|AF|4，A到准线距离为4，又准线方程为x2，A(2,4)，作点O关于直线x2的对称点O，则O的坐标为(4,0)，连接AO与直线x2相交于点P，则点P为所求，|PA|PO|PA|PO|AO|2.(理)已知直线l1：xy50，和l2：x40，抛物线C：y216x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为_分析观察抛物线C与直线l2的系数可以发现，l2为C的准线，由抛物线的定义可
42、将P到l2的距离转化为P到焦点F的距离，则问题变为P到F的距离与P到l1的距离之和最小，画出图形易见，当PFl1时，“距离之和”取到最小值答案解析在同一坐标系中画出直线l1、l2和曲线C如图P在C上任意一点，由抛物线的定义知，|PF|d2，d1d2d1|PF|，显见当PFl1，即P为P1点时d1d2|FM|，此时距离之和取到最小值，|FM|，所求最小值为.点评当问题涉及抛物线上动点到焦点(或准线)的距离，或双曲线(椭圆)上动点到两焦点距离时，应考虑定义是否能发挥作用三、解答题17(文)已知圆C1：x2y2r2截直线xy0所得的弦长为.抛物线C2：x22py(p0)的焦点在圆C1上(1)求抛物线
43、C2的方程；(2)过点A(1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程解析(1)易求得圆心到直线的距离为，所以半径r1.圆C1：x2y21.抛物线的焦点(0，)在圆x2y21上，得p2，所以x24y.(2)设所求直线的方程为yk(x1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)将直线方程代入抛物线方程可得x24kx4k0，x1x24k.因为抛物线y，所以y，所以两条切线的斜率分别为、，所以1，所以k1.故所求直线方程为xy10.(理)(2015唐山市一模)已知圆O：x2y24，点A(，0)，以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，
44、记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程解析(1)设O1与O的切点为P，连OO1，O1P，则|OO1|O1P|OP|2，取A关于y轴的对称点A1，连A1B，故|A1B|AB|2(|OO1|O1P|)4.所以点B的轨迹是以A1，A为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a2，c，b1，则曲线的方程为y21.(2)因为OB与圆O1相切，所以.设B(x0，y0)，则x0(x0)y0.又y1，解得x0，y0.则kOB，kAB，则直线AB的方程为y(x)，即xy0或xy0.18(2015江西省质量监测)在平面平直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：ax2y21(a0)(1)过
45、C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过，求实数a的取值范围；(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2y21相切且，求双曲线的方程解析(1)双曲线的渐近线方程为yx过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线是yx1，设两直线的交点为A.由解得A，围成的三角形的面积S，解得a.(2)设直线l：yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(a1)x22mxm210(a1)，x1x2，x1x2，l与圆相切1m22.(1)OPOQ，x1x2y1y20x1x2(x1m)(x2m)02x1x2m(x1x2)m202m20(2)解(1)(2)
46、得：a2当a1时，不满足题意所求的双曲线方程为：2x2y21.19(文)(2015河南八市质量监测)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析(1)A(0,1)，F(，0)，直线AF：y1，即xy0，AF与M相切，圆心M(3,1)，半径r，a1，a，椭圆的方程为y21.(2)由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1，将ykx1代入椭圆C的方程，整理得(13k2)x26
47、kx0，解得x0或x，故点P的坐标为(，)同理，点Q的坐标为(，)所以直线l的斜率为.则直线l的方程为y(x)，即yx.所以直线l过定点(0，)(理)已知椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛物线y24x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与A2Q垂直解析(1)如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x00，y00)，由题知AF2x0x01，所以x0，所以y4y0，1，1，解得a24，所以c1，a2.所以b2a213，所以椭圆的方程为1.(2)当直线l
48、的斜率不存在时，l的方程为x，由于1，所以y，所以P，Q，因为A2(2,0)，所以kA2P1，kA2Q1，所以kA2PkA2Q1，所以A2PA2Q.当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，则直线的方程为yk，49(34k2)x2112k2x16k212490，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2,0)，则x1x2，x1x2，所以kA2PkA2Q1，所以A2P和A2Q垂直20.在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y24x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)求证：y1y2为定值；(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求ADB面积的
49、最小值(3)求证：直线l：x1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值解析(1)当直线AB垂直于x轴时，y12，y22，因此y1y28.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为yk(x2)，由，得ky24y8k0，y1y28.因此有y1y28为定值(2)C(2,0)，C点关于原点的对称点D(2,0)，DC4，SADBDC|y1y2|.当直线AB垂直于x轴时，SADB448；当直线AB不垂直于x轴时，由(1)知y1y2，因此|y1y2|4，SADB4|y1y2|8.综上，ADB面积的最小值为8.(3)AC中点E(，)，AC，因此以AC为直径的圆的半径rAC，AC中点E到直线x1的距离d|1|，所
50、截弦长为222(定值)21(文)(2014福建文，21)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y3分别与直线l及y轴交于点M、N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解析(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
51、由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)，(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由，得A(x0,0)由，得M(x0，3)，又N(0,3)，所以圆心C(x0，3)，半径r|MN|x0|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变点评本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想本题第(1)问也可用直接法求解(理)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的
52、2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率解析(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.又因为A是PB的中点，故x22x1，将代入，得x1，x，可得()2，且k2，解得k或k，所以，直线m的斜率为或.22(文)已知双曲线C：1(a
53、0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为 (1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列解析(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x.由题设知，2，解得a21.所以a1，b2.(2)由(1)知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|b0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且MF1F2为等腰直角三角形(1
54、)求椭圆C的方程；(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当PAB的面积取得最大值时直线l的方程解析(1)椭圆1经过(1，e)，1，又e，1，解之得b21，椭圆方程为y21.又MF1F2为等腰直角三角形，bc1，a，故椭圆方程为y21.(2)由(1)可知椭圆的方程为y21，故P(1，)，由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意设不经过原点的直线l的方程ykxt(t0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(12k2)x24ktx2t220，(4kt)24(12k2)(2t22)16k28t280，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，x1x2，直线OP方程为yx且OP平分线段AB，解得k.|AB|，又点P到直线l的距离dh，SPAB|AB|h.设f(t)(t)2(42t2)2t44t38t8，由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得t.求导可得t时f(t)在(，)上有最大值，此时SPAB取得最大值，此时直线l的方程yx.