1、第4讲 立体几何 第1课时 空间中线、面平行 和垂直关系的证明 题型2 解答题 规范踩点 多得分考情分析 立体几何的解答题着重考查线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.1 热点题型分析 PART ONE 热点 综合法证明平行和垂直1线、面平行问题解题策略(1)证明线面平行：利用线面平行的定义、判定定理，面面平行的性质定理、性质等；(2)证明面面平行：利用面面平行的定义、判定定理、垂直于同一直线的两个平面平行、平行于同一平面的两个平面平行；(3)利用线线、线面、面面平行的相互转化2线、面垂直问题解题策略(1)证明线线垂直：利用图形中
2、的垂直关系、等腰三角形底边中线的性质、勾股定理、线面垂直的性质；(2)证明线面垂直：利用判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的性质；(3)证明面面垂直：利用判定定理、证明直二面角；(4)利用线线、线面、面面垂直的相互转化(2019江苏高考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，ABBC求证：(1)A1B1平面 DEC1；(2)BEC1E.证明(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABA1B1，所以 A1B1ED又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.(2)
3、因为 ABBC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC因为三棱柱 ABCA1B1C1 是直棱柱，所以 C1C平面 ABC又因为 BE平面 ABC，所以 C1CBE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CACC，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.1利用综合法证明平行和垂直的步骤如下：(1)巧转化：根据图形与已知条件，通过转化寻找证明平行或垂直所需要的条件；(2)用定理：将上述转化所得的条件代入相应的判定或性质定理；(3)得结论：根据定理证得相应的结论2利用线面平行的判定定理证明线面平行是常用方法，根据定理要求，需证线线平行，而证
4、明线线平行的方法则常用三角形中位线的性质、构造平行四边形或平行公理，要根据图形特征灵活选择方法3利用面面垂直的判定定理证明面面垂直是常用方法，而其需要证明线面垂直在证明线线垂直时，要注意特殊图形中的隐含垂直关系，如直棱柱和正棱柱的条件，菱形对角线相互垂直平分，圆中直径所对的圆周角为 90等1如图，平面 ABB1A1 为圆柱的轴截面，点 C 为底面圆周上异于 A，B的任意一点(1)求证：BC平面 A1AC；(2)若 D 为 AC 的中点，求证：A1D平面 O1BC证明(1)因为 ABB1A1 为圆柱的轴截面，点 C 为底面圆周上异于 A，B 的任意一点，所以 BCAC又在圆柱中，AA1底面圆 O
5、，所以 AA1CB，又AA1ACA，所以 BC平面 A1AC(2)如图，取 BC 边中点 M，连接 DM，O1M.因为 D 为 AC 的中点，所以 DMAB，且 DM12AB又在圆柱中，A1O1AB 且 A1O112AB，所以 DMA1O1 且 DMA1O1，所以 A1DMO1是平行四边形，故 A1DO1M.又 A1D平面 O1BC，O1M平面 O1BC，所以 A1D平面O1BC2如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 AA1B1B 为正方形，四边形 BB1C1C 为菱形，BB1C160，平面 AA1B1B平面 BB1C1C(1)求证：B1CAC1；(2)设点 E，F 分别是 B1
6、C，AA1 的中点，试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系，并说明理由解(1)证明：如图所示，连接 BC1.因为四边形 BB1C1C 为菱形，所以 BC1B1C又因为四边形 AA1B1B 为正方形，所以 ABBB1，因为平面 AA1B1B平面 BB1C1C，平面 AA1B1B平面 BB1C1CBB1，AB平面 AA1B1B，所以AB平面 BB1C1C又 B1C平面 BB1C1C，于是 ABB1C又因为 ABBC1B，所以 B1C平面 ABC1.因为 AC1平面 ABC1，所以 B1CAC1.(2)直线 EF 与平面 ABC 的位置关系为平行，证明如下：如图所示，取 BC 中点 D，连接
7、AD，DE.因为 E 是 B1C 的中点，所以 DEBB1 且 DE12BB1.因为四边形 AA1B1B 为正方形，F 是 AA1 的中点，所以 AFBB1 且 AF12BB1，故 DEAF 且 DEAF，所以四边形 ADEF 是平行四边形，因此 ADEF.又 AD平面 ABC，EF平面 ABC，所以 EF平面 ABC2 专题作业 PART TWO 1(2017江苏高考)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且EFAD求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC证明(1)在平面 ABD 内，因为
8、 ABAD，EFAD，所以 EFAB又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD因为 AD平面 ABD，所以 BCAD又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC2如图，在正方形 AMDE 中，B，C 分别为 AM，MD 的中点，在五棱锥 PABCDE 中，F 为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD，PC 分别交于点 G，H.(1)求证：ABFG；(2)若 PA平面 AMD
9、E，PAAE，求证：AF平面 PED证明(1)因为四边形 AMDE 为正方形，B 为 AM 的中点，所以 ABDE.又 DE平面 PED，AB平面 PED，所以 AB平面 PED又因为 AB平面ABHGF，平面 ABHGF平面 PEDFG，所以 ABFG.(2)因为 PA平面 AMDE，ED平面 AMDE，所以 PAED，又因为四边形 AMDE 为正方形，所以 AEED因为 AEPAA，所以 ED平面 PAE.又 AF平面 PAE，所以 EDAF.因为 PAAE，F 为棱 PE 的中点，所以 AFPE，又 EDPEE，所以 AF平面 PED3.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面
10、 ABC，ACBC，E 在线段 B1C1 上，B1E3EC1，ACBCCC14.(1)求证：BCAC1；(2)试探究：在 AC 上是否存在点 F，满足 EF平面 A1ABB1？若存在，请指出点 F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为 AA1平面 ABC,BC平面 ABC，所以 BCAA1.又因为 BCAC，AA1ACA,AA1，AC平面 AA1C1C，所以 BC平面 AA1C1C，又 AC1平面 AA1C1C，所以 BCAC1.(2)解法一：当 AF3FC 时，EF平面 A1ABB1.证明如下：如图，在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EGA1C1交 A1B1 于点
11、G，连接 AG.因为 B1E3EC1，所以 EG34A1C1，又 AFA1C1 且 AF34A1C1，所以 AFEG 且 AFEG，所以四边形 AFEG 为平行四边形，所以 EFAG，又 EF平面 A1ABB1，AG平面 A1ABB1，所以 EF平面 A1ABB1.解法二：当 AF3FC 时，EF平面 A1ABB1.证明如下：如图，在平面 BCC1B1 内过点 E 作 EGBB1 交 BC 于点 G，连接 FG.因为EGBB1，EG平面 A1ABB1，BB1平面 A1ABB1，所以 EG平面 A1ABB1.因为 B1E3EC1，所以 BG3GC，所以 FGAB，又 AB平面 A1ABB1，FG平面 A1ABB1，所以 FG平面 A1ABB1.又 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，所以平面 EFG平面 A1ABB1.又 EF平面 EFG，所以 EF平面 A1ABB1.本课结束
