1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.5 三角函数的图象与性质(一)巩固夯实基础 一、自主梳理 1.三角函数的图象和性质函 数 性 质y=sinxy=cosxy=tanx定义域值域图象奇偶性周期性单调性对称性 注:读者自己填写. 2.对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 二、点击双基1.(2010全国高考卷)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( )A. B. C. D
2、.2解析：f(x)=|sinx+cosx|=|sin(x+)|, T=.答案：C2.(2006杭州期末)若函数f(x)=sinx+cosx,xR,又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值等于分式,则正数的值为( )A. B. C. D.解析:由于f(x)=sinx+cosx=2sin(x+), 又f()=-2,f()=0, 所以x=是函数图象的一条对称轴,(,0)是函数图象的一个对称中心, 故|-|的最小值应等于分式,其中T是函数的最小正周期,于是有分=, 故=.答案:B3.函数y=cos(sinx)的值域是_.解析：-1sinx1,cos1cos(sinx)1.答案：cos1,14.函数
3、y=lg(cosx-sinx)的定义域是_.解析:由cosx-sinx0cosxsinx.由图象观察,知2k-x2k+(kZ).插入图片BY73;S*2;X*2 答案:2k-x2k+(kZ)诱思实例点拨 【例1】 (2005广东高考)化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+2sin(+2x)(xR,kZ),求函数f(x)的值域和最小正周期.剖析:欲求f(x)的值域和最小正周期,只需把f(x)化成一个角的一个三角函数的形式.解:f(x)=cos(2k+2x)+cos(2k-2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4cos2x. 函数f(x)的值域为-4,4;
4、 函数f(x)的最小正周期T=.讲评:本题考查化简三角函数式的能力及求值域、周期等三角函数性质.【例2】 设三角函数f(x)=sin(x+)(k0),(1)写出f(x)的最大值M、最小值m以及最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个M与m.解:(1)M=1,m=-1,T=(k0). (2)为保证两个整数间有一个M与m,必须使两个整数间的区间长度不少于一个周期T,由T1解得k=32.讲评:本题容易出现的错误是求周期忘加绝对值,第(2)小题是周期函数的灵活运用.【例3】 已知函数f(x)=Asinx+Bcosx(其中A、B
5、、是实常数,0)的最小正周期为2,当x=时,f(x)取得最大值2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在闭区间,上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.剖析:将f(x)化成一个角的一个三角函数形式,利用三角函数的性质解之.解:(1)f(x)=sin(x+),其中tan=. 由题意 解得=,A=,B=1,tan=,取=, f(x)=2sin(x+). (2)令x+=k+,kZ, 得x=k+.由k+, 得k.又kZ,k=5. 故在闭区间,上只有f(x)的一条对称轴,其方程为x=.讲评:本题考查了三角函数式化简,深层次地考查了周期、最值、对称性等问题,是一个灵活性较强的题目.链接聚焦 本题(2)是探索性问题,试总结解探索性问题的一般步骤.- 3 - 版权所有高考资源网
