1、第1讲 命题及其关系,充分条件与必要条件 知 识 梳理 1用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，那么这两个命题叫互逆命题. （2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. （3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_ 和_条件的否定_，那么这两个命题叫互否命题. 3一般地，把条件的否定和结论的否定，分别记为“”和“”，则命题的四种形式可写为： 原命题： “若若” 逆命题： “若若”
2、 否命题： “若 是 ”逆否命题： “若 是 ”特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：原命题若p则q逆命题若q则p否命题若非p则非q逆否命题若非q则非p 互逆 互 互 互 为 为 互 否 逆 逆 否否 否 互逆 （2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.4. 用反证法证明的一般步骤是： (1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1) 结论本身以否定形式出现的命
3、题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.5 如果“若则”为真, 记为, 如果“若则”为假, 记为.6若则是的充分, 是的必要_ 7判断方法： （1）定义法： p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件（2）集合法： 设P=p, Q=q,若_ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 若_ P=Q _，
4、则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. 若_ P Q且Q P _， 则p是q的既不充分也不必要条件. （3） 逆否命题法：q 是p的充分条件不必要条件p是q的_充分条件不必要条件_q 是p的必要条件不充分条件p是q的_充分条件不必要条件q 是p的充分要条件p是q的_充要条件_q 是p的既不充分条件与不必要条件p是q的_既不充分条件与不必要条件_特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P=p, Q=q, 若p是q的充分不必要条件，则PQ 若q是p的必要不充分条件，则PQ 若P=Q ，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. 若P Q且Q P， 则p
5、是q的既不充分也不必要条件. 2、 证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性. 重 难 点 突 破 1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件.2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.3.重难点：.(1) 与命题相关的判析问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；“一个数不是正
6、数就是负数”；“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；“为有理数，则、也都是有理数”； “作”.解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假. 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题； 是假命题, 数0既不是正数也不是负数. 感叹句, 不是命题. 是假命题, 如. 祈使句, 不是命题. 命题有: ；真命题有: 点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题2：你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗?(1)
7、 实数的平方是非负数. (2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题. (2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题. (3) 若一个数能被6整除的数, 则它既能被3整除也能被2整除. (4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧.点拨:将命题写成“若若”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性.（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具
8、体问题选择使用,.问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 “面积相等的三角形全等”的否命题 “若m1，则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题 “若AB=B，则AB”的逆否命题解析: 的逆命题为“若x、y互为倒数, 则xy=1”, 是真命题;的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;“若m1, 则x2-2x+m=0有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;“若AB=B, 则AB”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.真命题有点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假
9、.问题4你能判断下列命题的真假吗?（1）已知若（2）若无实数根。解： 因为“已知若”的逆否命题是：“已知若”我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。(2) 因为“若无实数根”的逆否命题是：“若方程有实数根，”当方程有实数根时，成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）充分利用等价转化的思想方法。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：命题及其相互关系题型1. 判断命题及真假例1 陈述句“在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？ 解题
10、思路：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”解析：是命题，在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.例2 广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1 B.2 C.3 D.4解题思路：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判
11、断一个命题为假，只要举出一个反例即可.解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 【新题导练】1下列命题中是假命题的是（ ）（A）矩形的对角线相等（B）若是奇数，则是奇数（C）（D）若，则答案: C2（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）以下命题： 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等； 过圆上的点与圆相切的直线方程是； 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； 抛物线上任意一点到焦点
12、的距离都等于点到其准线的距离。其中正确命题的标号是 。答案；题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题例3 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.（1）若，则全为0 .（2）若是偶数，则都是偶数.（3）若，则解题思路：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”. 另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它们的区别.解析: 因为原命题是“若若”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命题、逆否命题.解答：（1）逆命题：若全为0，则.否命题：若，则不全为0 .逆否命题：若不全为0，则.（2）逆命题：若都是偶数，则
13、是偶数.否命题：若不是偶数，则不都是偶数.逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数.（3）逆命题：若，则.否命题：若，则逆否命题：若，则.【名师指引】认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假【新题导练】3. （广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理）命题“若0，则”的逆命题是 答案： 逆命题是“若”4（2009年广东省广州市高三年级调研测试）命题“”的否命题是 （ ） A. B. C. D. 答案： C题型3。四种命题间的关系与反证法例4若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判
14、断这三个命题的真假解题思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假解析：逆命题：若ax2+bx+c=0（a、b、cR）有两个不相等的实数根，则ac0；是假命题，如当a=1，b=3，c=2时，方程x23x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=20否命题：若ac0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根；是假命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：若ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根，则ac0；是真命题. 因为原命题是真命题，它与原命题等价例5 用反证法证明：设三个正实数
15、a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.解题思路：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a, b, c中至多有一个数不小于1”的反设为“a, b, c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.解析：证明：假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：（1）a、b、c三数均小于1，即0a1 , 0b1, 0c3与已知条件矛盾；（2）a、b、c中有两数小于1，设0a1, 0b2+2，也与已知条件矛盾；假设不成立，a、b、c中至少有两个不小于1.【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同
16、假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题），充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。【新题导练】5（广东省汕头市澄海区2008年统测）命题：“设、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D3答案：C6（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A若，则 B.若，则C.若，则 D. .若，则答案：A7若x、y、z均为实数，且a=x22y+，b=y
17、22z+，c=z22x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧.解：假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，30，且无论x、y、z为何实数，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.这与a+b+c0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.考点二: 充要条件及其判定题型1:利用定义作判断例6 （2008学年中山市一中高三年级统测试题）在中，“
18、”是“”的 A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解题思路：判定p是q的充要条件，既要看“”是否为真，又要看“”否为真, 只有都为真时, p才是q的充要条件.解析：A “” “”但反之不成立，故选A 【名师指引】定义判断的重要依据。【新题导练】8（2009届省实高三次月考数学试题）函数有极值的充要条件是 （ ）A B C D答案：D9“” 是“函数在区间上为增函数”的 （ ） A充分条件不必要 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A题型2: 从集合思想或利用逆否命题判定例7 （广东省四会中学2009届高三上学期第一次质量检测）“成立”
19、是“成立”的( ) A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解题思路：当直接判断p是q什么条件较困难时, 可借助于集合或利用逆否命题来考虑 , 会更快捷和准确.解析：的解集是，的解集是AB 选A 例8（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）若，则成立的一个充分不必要的条件是（ ）A.B. C. D. 解题思路： 以选项为条件，要能得到，但反之不成立解析：C 可以取反例，易得只有C答案【名师指引】解答充分与必要条件问题时，要根据命题的特点，在三种方法(定义法、集合法和逆否命题法) 中选择一种进行判断，而且还依赖于问题本身所涉及到的具体数学内容的
20、掌握与理解程度.【新题导练】10 （广东省黄岐高级中学2009届高三上学期月月考）设集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：B11（广东省深圳市2009 届高三九校联考）设、是方程的两个实根。那么“且”是“两根、均大于”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 下列语句中命题的个数是( ) 地球是太阳系的一颗行星； ； 这是一颗大树； ； 老年人组成一个集合； A1 B2 C3 D4解：是命题，故选D2. 设原命题：若，则 中至少有一个不小
21、于1.则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）AA原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题答案： A. 提示：=1.2，=0.3，则=1.52，逆命题为假.3（广东省四会中学2009届高三质量检测）ABC中“”是“ABC为钝角三角形”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要答案：B4 （广东省深圳外国语学校2009届高三统测）若是常数, 则“且”是“对任意,有”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案： “对任意,有”的等价命题是：a=0时，必有b=0；或时，。选A5（ 广东
22、省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理)） “”是“的展开式的第三项是60”的_条件 （ ） A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要答案：A6 (黄家中学高08级十二月月考)条件：，条件：在内是增函数，则是的A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案：在内是增函数 ， 且 是的充分不必要条件 故选B；综合拔高训练7用反证法证明：“已知x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1”. 则所作的反设是 答案: 假设x1且y18写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.解：典型错解
23、: 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数, 是真命题.逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数, 是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数, 是真命题.逆否命题：若两个整数中不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；点拨: 对“都不”的否定，许多同学都误认为是“不都”，这是错误的，应为“至少有一个”, 而“不都”是对“都”的否定.正确解答: 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数, 是真命题.逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的
24、乘积为奇数, 是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数, 是真命题.逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题.9 （2008学年中山市一中高三年测试题理科数学）已知：，： 且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。解：由 即为： 4分而为：， 6分又是的必要不充分条件， 即所以 即实数的取值范围为。 12分10已知：a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明（反证法）：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac
25、0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.备用：1（广东省珠海市斗门第一中学2009届高三模拟）是的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2（广东省湛江市实验中学2009届高三月考（数学理）“a+b4且ab4”是“a2且b2”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B3（广东省恩城中学2009届高三模拟）已
26、知命题p：，命题q：，则的_ _条件(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件)。答案：充分不必要条件；4（广东省汕头市金山中学2009届高三期中考试（数学理）函数的定义域为集合，函数的定义域为集合 （1）判定函数的奇偶性，并说明理由（2）问：是的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论15. 解：A=x| -1x1A=（-1，1），定义域关于原点对称 f（-x）=lg= lg= lg， f（x）是奇函数. （2）B=x|B=-1-a，1-a 当a 2时， -1-a-3， 1-a-1，由A=（-1，1）， B=-1-a，1-a， 有反之，若，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2. （注：反例不唯一） 所以，a 2是的充分非必要条件。