1、数列求和考试要求1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和裂项时常用的三种变形：；.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(
2、4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf (n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知等差数列an的公差为d(d0)，则有.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4) 利用倒序相加法可求得sin21sin2
3、2sin23sin288sin28944.5.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B C DBan，S5a1a2a51.2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2CSna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.3Sn等于()A BC DB由Sn，得Sn，得，Sn，Sn.4数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17 .9S171234
4、561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119. 考点一分组求和与并项求和 分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论典例1已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)设等
5、差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.设Sn为数列cn的前n项和，从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.点评：解答此类问题首先应抓住基本量，利用方程的思想求得an，bn，在此基础上用分组求和，分别求得相应数列的和并相加已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5，
6、3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n. 考点二裂项相消法求和 裂项相消法的步骤、原则及规律(1)基本步骤(2)裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止(3)消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项形如an(k为非零常数)型典例21已知数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足b16，b1an1.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足b16，b1an1.所以当n1时，a2b
7、16，故an62(n2)2n2，由于b1an1，当n2时，b1an，得：an1an2，所以bn2n.所以bn.(2)当n1时，S1.当n2时，则Sn，当n1时满足上式，故Sn.点评：本例第(1)问在求bn的通项公式时灵活运用了数列前n项和与项的关系，注意通项公式是否包含n1的情况；第(2)问在求解中运用了裂项法，即若an是等差数列，则.形如(k为非零常数)型典例22已知函数f (x)x的图象过点(4,2)，令an，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2 020()A1 B1C1 D1C由f (4)2得42，解得，则f (x).an，S2 020a1a2a3a2 020()()()()1.点
8、评：运用分母有理化对分式正确变形并发现其前后项之间的抵消关系是求解本题的关键形如bn(q为等比数列an的公比)型典例23(2020杭州模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且a28，Snn1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)a28，Snn1，a1S122，当n2时，anSnSn1n1，即an13an2，又a283a12，an13an2，nN*，an113(an1)，数列an1是等比数列，且首项为a113，公比为3，an133n13n，an3n1.(2).数列的前n项和Tn.点评：本例第(1)问在求解通项公式时运用了构造法，形如an1an的数列递推关系求通项公式都可
9、以采用此法；第(2)问运用了裂项相消法求和，bn.形如an型典例24正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn.解(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn.点评：(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、
10、单调性等证明不等式(2)放缩法常见的放缩技巧有：.2()2()1(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 .设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有解得所以Sn，2，因此 2.2(2020广州模拟)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解(1)设等比数列an的公比为q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由已知条件得q0，所以q.由2a13a21，得2a13a1q1，解得a1.故数列an的通项公式为an.(2)由(1)可得bnlog3a1log3
11、a2log3an(12n)，故2，所以2.故数列的前n项和为. 考点三错位相减法求和 错位相减法求和的具体步骤典例3设数列an的前n项和为Sn，且a11，an12Sn1，数列bn满足a1b1，点P(bn，bn1)在直线xy20上，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，两式相减得an1an2an，即an13an(n2)又a22S113，所以a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列所以an3n1.由点P(bn，bn1)在直线xy20上，所以bn1bn2.则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则
12、bn1(n1)22n1.(2)因为cn，所以Tn.则Tn，两式相减得：Tn1.所以Tn33.点评：本例巧妙地将数列an及其前n项和Sn，数列与函数的关系等知识融合在一起，难度适中求解的关键是将所给条件合理转化，并运用错位相减法求和(2020全国卷)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q1(舍去)或q2.故an的公比为2.(2)记Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所以Sn12(2)n(2)n1，2Sn2
13、2(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以Sn.核心素养4用数学语言表达世界数列中等量关系的建立有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中用数学的思想分析数据间的内在联系，用数学语言表述其内在关系，用数列的方法求解数列模型，并用数学结论指导实际问题的过程，也是近几年高考所考查的数学探索、发现、应用的动向之一，因此备考中应引起足够的重视.直接借助等差(等比)数列的知识建立等量关系从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计
14、为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，第n年投入为800万元，所以，n年内的总投入为：an8008008004 000，第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入400万元所以，n年内的旅游业总收入为bn4004004001 600. (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1 6004
15、0000，化简得5270，令x，代入上式得：5x27x20.解得x，或x1(舍去)即，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 评析本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，第(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一
16、年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列证明T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an(1r)n1ra1(1r)nan.即Tn(1r)nn.如果记An(1r)n，Bnn，则TnAnBn，其中An是以(
17、1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，为公差的等差数列借助数列的递推关系建立等量关系大学生自主创业已成为当代潮流某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1 500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出(1)设夏某第n个月月底余an元，第n1个月月底余an1元，写出a1的值并建立an1与an的递推关系；(2)预计年底夏某还清银行贷
18、款后的纯收入(参考数据：1.12113.48,1.12123.90,0.12117.431011,0.12128.921012)解(1)依题意，a120 000(115%)20 00015%20%1 50020 900(元)，an1an(115%)an15%20%1 5001.12an1500(nN*,1n11)(2)令an11.12(an)，则an11.12an0.12，对比(1)中的递推公式，得12 500.则an12 500(20 90012 500)1.12n1，即an8 4001.12n112 500.则a128 4001.121112 50041 732(元)又年底偿还银行本利总计
19、20 000(16%)21 200(元)，故该生还清银行贷款后纯收入41 73221 20020 532(元)评析(1)先求出a1的值，并依据题设得出an1与an的关系；(2)利用构造法求得an的通项公式，并求相应值容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn.(1)求a1，b1，并证明anbn是等比数列；(2)至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 20.301 0，lg 30.477 1)；(3)求an，bn的表达式解(1)由题意，b1，a1.bn1，an1(5anbn1)，an1bn1(anbn)，anbn是等比数列(2)由(1)知anbn，1%，n15.7，n7，故至少操作7次(3)bn1，bn1bn，bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1).anbn.
