1、33.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(一)学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义引例已知x，y满足条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x3y的最大值以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念知识点一线性约束条件及目标函数1在上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件2在上述问题中，是要研究的目标，称为目标函数因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数
2、称为线性目标函数知识点二可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使式取最大值的可行解称为最优解知识点三线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线axby0(目标函数为zaxby)；(2)移：平行移动直线axb
3、y0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值1可行解是可行域的一个元素()2最优解一定是可行解()3目标函数zaxby中，z为在y轴上的截距()4当直线zaxby在y轴上的截距最大时，z也最大()题型一求线性目标函数的最值例1已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x3y的最大值解 设区域内任一点P(x，y)，z2x3y，则yx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线，如图由图可以看出，当直线yx经过直线x4与直线x2y80的交点M(4,2)时，截距的值最大，此时2x3y14.反思感悟
4、(1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误(2)作可行域时要注意特殊点与边界(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反跟踪训练1(2018北京)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是 答案3解析由条件得即作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示设z2yx，即yxz，作直线l0：yx并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2213.题型二已知线性目标函数的最值求参数例2已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(a0)仅在点(3,1)处取得最大
5、值，则a的取值范围为 答案(1，)解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)解方程组得即C(3,1)，目标函数为zaxy(a0)，由题意可知，当直线yaxz经过点C时，z取得最大值，akCD，即a0，则当截距最大时，z取得最大值，当截距最小时，z取得最小值；若b0)取得最大值的点有无数个，求a的值解如上例中图形，若使zaxy(a0)取得最大值的点有无数个，则必有直线zaxy与直线xy4重合，所以akCD，即a1，此时a1.题型三求非线性目标函数的最值例3已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z，故z
6、的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.引申探究1把目标函数改为z，求z的取值范围解z，其中k的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率由图易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范围是.2把目标函数改为z，求z的取值范围解z2.设k，仿例1解得k1.z.反思感悟对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题跟踪训练3(2018湖北省荆州中学月考)设x，y满足约束条件则的最
7、大值为()A1 B. C. D.答案B解析画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立解得则B.表示可行域内的点(x，y)与C(2，2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B时，有最大值.类比：思想方法的迁移方式之一典例若实数x，y满足不等式组则z2|x|y的取值范围是()A1,3 B1,11 C1,3 D1,11答案D解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x0时，z2xy，即y2xz，由图象可知其经过A(0，1)时，zmin1，经过B(6，1)时，zmax11；当x0时，y2xz，由图象可知其经过C(2，1)时，zmax3，经过A(0，1)时，zmin1，综上所述，1z11
8、.素养评析逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.1若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A B0 C. D.答案C解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示设zx2y，即yxz，平行移动直线yxz，当直线yx过点B时，z取最大值，所以(x2y)max.2设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值为()A6 B7 C8 D23答案B解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示由图可知，z2x3y经过点A(2,
9、1)时，z有最小值，z的最小值为7.3已知a，b是正数，且满足2a2b4.，那么的取值范围是()A. B. C. D.答案A解析画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).的几何意义是可行域内的点M(a，b)与点P(1，1)连线的斜率，由图得，当点M与点B(0,2)重合时，最大；当点M与点A(4,0)重合时，最小由图知kPB3，kPA，因为a，b是正数，且点A，B不在可行域内，所以3，故选A.4设变量x，y满足约束条件求目标函数z3xy的取值范围解作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z3xy，可得y3xz，则z为直线y3xz在y轴上的截距，截距越大，z越小，
10、结合图形可知，当直线y3xz平移到B时，z最小，平移到C时，z最大，可得B，zmin，C(2,0)，zmax6，z6.5若x，y满足约束条件求z的最大值解作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率由图可知z的最大值为kAB3.1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标
11、函数的最值2作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解3对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”一、选择题1若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域内，则2xy的最小值为()A6 B2 C0 D2答案A解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点A(2,2)时，z取得最小值，此时z2(2)26.2(2018天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3
12、x5y的最大值为()A6 B19 C21 D45答案C解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线yx，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax325321，故选C.3设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z0，得直线l0：y2x0，平移直线l0知，当直线l0过D点时，z取得最小值由得D(5,3)zmin3257，故选A.4设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11C11，3 D11,3答案A解析作出可行域如图
13、阴影部分(含边界)所示，由图可知z3x4y经过点A时，z有最小值，经过点B时，z有最大值易求得A(3,5)，B(5,3)zmax35433，zmin334511.5已知x，y满足约束条件则(x3)2y2的最小值为()A. B2 C8 D10答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示因为(x3)2y2的几何意义是点A(3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方，显然|AC|最小，所以(x3)2y2的最小值为|AC|2(03)2(10)210，故选D.6实数x，y满足约束条件则z的取值范围是()A1,0 B0,2) C1，) D1,1)答案B解析作出可行域，如图(阴影部分)所
14、示，1，k的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为1.又直线l不能与直线xy0平行，kl1.综上，k1,1)，k10,2)7已知x，y满足约束条件如果目标函数z的取值范围为0,2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba2Ca2 Da1答案D解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为目标函数z的取值范围为0,2)，所以可行域内的点与点(a，2)连线的斜率的取值范围是0,2)又直线2xy40的斜率为2，所以由图可知点(a，2)在直线BA上，且在A(1，2)的左侧，所以a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()
15、A. B. C1 D2答案B解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示易知直线z2xy过交点B时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选B.二、填空题9在线性约束条件下，z2xy的最小值是 答案7解析如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界三条直线中x3y12与3xy12交于点A(3,3)，xy10与x3y12交于点B(9,1)，xy10与3xy12交于点C(1,9)，作一族与直线2xy0平行的直线l：2xyz.即y2xz，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为z，当l经过点C时，z取最大值，此时z最小，即zmin2197.10已知x2y21，则w的取值范围是 答案(
16、，0)解析可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界w的几何意义为点(x，y)与点(1,1)连线的斜率由图知w(，0)11已知实数x，y满足不等式组若z的最大值为1，则正数a的值为 答案4解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，z表示可行域内的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率，由图可知，点A与点B连线的斜率最大由得A(1，a1)z的最大值为1，解得a4.三、解答题12已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围解作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,
17、5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故|MN|.|MN|22，z的最小值为.(2)z2表示可行域内的点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，kQA，kQB，z的取值范围是.13等差数列an中，a31，a41.求a7的取值范围解设anknb.则可行域如图阴影部分a77kb.当k0，b1时最小，但(0,1)取不到a7(1，)14已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，bac，则的最大值为_答案7解析题设条件可转化为记x，y，则表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部且目标函数为z，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率由方程组得交点坐标为C，此时zmax7，即的最大值为7.15设实数x，y满足求z的取值范围解令k，则ykx(因为x0，所以k存在)，直线ykx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线ykx过点A(1,2)时，斜率有最大值2；当直线ykx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又zk，当k时，zk为减函数；当k1,2时，zk为增函数，可得z的取值范围为.