1、第七章 综合检测一选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）1.已知非零实数满足，则下列不等式成立的是A、 B、 C、 D、解析：法1：当时，淘汰A；当时，淘汰B；当时，淘汰C；故选D；法2：为非零实数且满足 ，即，故选D；法3：代特殊值进行验证淘汰；2. 若是常数，则“”是“对任意，有”的 ( ) A充分不必要条件. B必要不充分条件. C充要条件. D既不充分也不必要条件.解析：易知对任意恒成立。反之，对任意恒成立不能推出 反例为当时也有对任意恒成立“”是“对任意，有的充分不必要条件,选A3.已知x、y、z满足不等式组, 则t=x2+y2+2x2y+2的最小值为( )A.
2、 B. C.3 D. 2解析: 可行域如图, t=(x+1)2+(y1)2 表示点可行域内的点到A(1,1)的距离的平方的最小值, A(1,1)xyOy=xx+2y=4y=4由图知tmin = 2 .选D4.如果关于x的方程至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）解析：由或，或得，故选C5. 不等式的解集是（ ）A、 B、 C、 D、解析：法一：x+2x2+00x（x1）（x+1）01x0或x1.法二：验证，x=2、不满足不等式，排除B、C、D.答案：A6. 不等式 1 log 2 x的解是（ B ）（A）x 2 （B）x 1 （C）1 x 2，或，或，故选B7.已知
3、则的最小值是（ ） A B C 2 D 1解：记，则，（当且仅当时取等号）故选A8.设全集，若CUP恒成立，则实数最大值是（ ） A C C 解析C 作出集合P表示的平面区域，易知为使CUP恒成立，必须且只需原点O到直线3x+4y-12=0的距离.二填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）9函数的定义域是 .解析：由已知得，即，所以.10.若关于x的不等式x2+2xmx的解集为x|0x2，则实数m的值为_.解析：由题意，知0、2是方程x2+（2m）x=0的两个根，=0+2.m=1.答案：111. 已知不等式a对x取一
4、切负数恒成立，则a的取值范围是_.解析：要使a对x取一切负数恒成立，令t=|x|0，则a.而=2，a2.答案：a212.函数的图象恒过定点A, 若点A在直线mx+ny+1=0上, 其中mn0, 则 + 的最小值为 解析: y=logax恒过(1,0)点, 函数恒过(2,1)点, 代入直线mx+ny+1=0中去, 有2m+n=1, mn0, 又 + =(2m+n) ( + )=4+ + 4+2=8. 当且仅当n=, m=时取=. 定义符号函数sgnx=当xR时，解不等式（x+2）（2x1）sgnx.解：当x0时，原不等式为x+22x1.0x3.当x=0时，成立.当x0时，x+2.x+20.0.0
5、.x0.综上，原不等式的解集为x|x3.三解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分13分）已知函数定义域为，求时，函数的值域。解析：由 -（1分） 即 得 所以 -（5分）由 - （8分） 当 时 - （11分）所以 函数的值域是 - (13分)17（本题满分13分）已知集合，集合(1)求集合；(2)若，求的取值范围。.解析：(1) -4分 即A=x| -6分 -9分即A=x| -11分(2) BA -13分18（本题满分14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所：类型A规格B规格C规格第
6、一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积：第一种为,第二种为。今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小?解：设需截第一种钢板工张x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为，（1分）则有（5分）作出可行域（如图） （8分）目标函数为：作出一组平行直线（t为参数）由得（11分）由于点不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且 （13分）答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，或第一种钢板6张，第二种钢板7张，得所需三种规格的钢板，且使所用的钢板的面积最小 （14分）19（本题满分14
7、分）5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房（每套长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内，试计算：（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，所用材料费为，试用表示；（2）求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？（1） 3分 即 6分（2），
8、且 ； 由题意可得： 8分 ； 9分当且仅当取最大值 ； 12分答：简易房面积的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米. 14分 20（本题满分14分）设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.3分（2）当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x221）x2（x1y1+x2y21）x+（y12+y221）7分其根的判别式=4
9、（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）.9分由题意x12+x221，函数f（x）的图象开口向下.又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，11分因此抛物线与x轴必有公共点.0.4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）0，13分即（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.14分21（本题满分12分） 已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（）求的值；（）解关于x的不等式：，其中解：（I）由，得：。函数的图象均在x轴的上方， 1分，又，4分（II）又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函数6分8分当时，；9分当时，；10分当时，11分综上所述：当时，；当时，；当时，。12分