1、第7讲 三角恒等变换与解三角形 题型1 选填题练熟练稳 少丢分考情分析 三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关边、角的范围问题；(5)实际应用问题1 热点题型分析 PART ONE 热点 1 三角恒等变换及求值三角恒等变换“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan45等；(2)项的分拆与角的配凑，如：sin22cos2(sin2c
2、os2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦1.若 sin6 13，则 cos23 2 的值为()A.13B79C.13D.79答案 B解析 sin6 cos26 cos3 13，cos23 2 2cos23 12132179.2.若，都是锐角，且 cos 55，sin()1010，则 cos()A.22B.210C.22 或 210D.22 或 210答案 A解析，都是锐角，22，又 cos 55，sin()1010，sin2 55，cos()3 1010，coscos()coscos()sinsin()55 3 1010
3、 2 55 1010 22.故选 A.研究三角函数式的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与所求角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解第 1 题易错点有二：一是不善于发现6 与3 两角的互余关系；二是二倍角公式的正确记忆及应用第 2 题易忽略角的配凑技巧，而利用两角和与差公式直接展开，结合同角基本关系式 1sin2cos2 而错选 C.热点 2 正弦定理、余弦定理1.利用正、余弦定理解三角形的思路(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到；(2)关于
4、解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”2.利用正、余弦定理判断三角形形状的两种常用途径(1)角化边：通过正弦、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(2)边化角：通过正弦、余弦定理化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断3.与三角形面积有关问题的解题思路(1)先转化：根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化边或化角；(2)再选面积公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积 S12absinC12ac
5、sinB12bcsinA；(3)后求值：若求值可根据条件直接求出，若求最值，注意根据条件常利用基本不等式求最值1.(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2B.3C.4D.6答案 C解析 由题可知 SABC12absinCa2b2c24，所以 a2b2c22absinC.由余弦定理 a2b2c22abcosC，所以 sinCcosC.因为 C(0，)，所以 C4，故选 C.2.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cacosB(2ab)cosA，则ABC 的形状为()A.等腰三角形B直角三
6、角形C.等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案 D解析 cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得，sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sin(AB)sinAcosB2sinAcosAsinBcosA，得 2cosAsinB2sinAcosA，cosA0 或 sinBsinA，A2或 BA 或 BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形故选 D.3.(2018浙江高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a 7，b2，A60，则 sinB_，c_.解析 由正弦定理 asinA bsinB，得 732 2sinB，所以 sinB 217
7、.由余弦定理，cosAb2c2a22bc，得124c274c，所以 c3.答案 217 31.第 1 题易错在三角形面积公式的选择和余弦定理的正确运用上2.应用正、余弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，如第 2 题易忽略 cosA0 的情况而错选 A.3.第 3 题在求边 c 时，如果选用正弦定理易由于运算量过大而导致出错，恰当的选择余弦定理可简便求解.热点 3 正、余弦定理的实际应用解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与所求，画出示意图尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在
8、有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出实际问题的解1如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米答案 50 7解析 连接 OC，由题意知 CD150 米，OD100 米，CDO60.在COD 中，由余弦定理得 OC2CD2OD
9、22CDODcos 60，即 OC50 7.2某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路 B 处有一个人正沿着此公路向 A 走去，走 20 km 到达 D，此时测得 CD 距离为 21 km，若此人必须在 20分钟内从 D 处到达 A 处，则此人的最小速度为_km/h.答案 45解析 由已知得CAB253560，BC31，CD21，BD20，可得 cosBBC2BD2CD22BCBD31220221223120 2331，那么 sinB12 331，于是在ABC 中，AC BCsinBsinCAB24，
10、在ABC 中，BC2AC2AB22ACABcos60，即 312242AB224AB，解得 AB35 或 AB11(舍去)，因此 ADABBD352015.故此人在 D 处距 A 处还有 15 km，若此人必须在 20 分钟，即13小时内从 D 处到达 A 处，则其最小速度为 151345(km/h).理解题中方向角的概念，第 2 题易概念不清楚而导致出错.2 真题自检感悟 PART TWO 1.(2018全国卷)若 sin13，则 cos2()A.89B.79C79D89解析 由公式可得 cos212sin212979.故选 B.答案 B2.(2017山东高考)在ABC 中，角 A，B，C
11、的对边分别为 a，b，c.若ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()A.a2bBb2aC.A2BDB2A答案 A解析 等式右边sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左边sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.由 cosC0，得 sinA2sinB.根据正弦定理，得 a2b.故选 A.3.(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_答案 6
12、3解析 由余弦定理得 b2a2c22accosB.又 b6，a2c，B3，364c2c222c212，c2 3，a4 3，SABC12acsinB124 32 3 32 6 3.4.(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC_.答案 152 104解析 解法一：依题意作出图形，如图所示，则 sinDBCsinABC.由题意知 ABAC4，BCBD2，由余弦定理得cosABCAB2BC2AC22ABBC422242242 14，则 sinDBCsinABC 154，所以 SBDC12BCBDsinDB
13、C1222 154 152.因为 cosDBCcosABC14BD2BC2CD22BDBC8CD28，所以 CD 10.由余弦定理，得 cosBDC 410422 10 104.解法二：同解法一得 cosABC14，SBDC 152.因为 BDBC2，所以BDC12ABC，则cosBDC1cosABC2 104.3 专题作业 PART THREE 一、选择题1.下列各式中，值为12的是()A.sin15cos15 Bcos2 12sin2 12C.1cos62D.tan22.51tan222.5答案 D解析 sin15cos1512sin3014，排除 A；cos2 12sin2 12cos6
14、 32，排除 B;1cos621 322 2 32，排除 C；由 tan452tan22.51tan222.51 知tan22.51tan222.512，故选 D.2.(2019山师大附中模拟)设函数 f(x)sin(2x)(0)在 x6时取得最大值，则函数 g(x)cos(2x)的图象()A.关于点6，0 对称B关于点3，0 对称C.关于直线 x6对称D关于直线 x3对称答案 A解析 因为当 x6时，f(x)sin(2x)(00)，x 12，23 的图象如图，若 f(x1)f(x2)，且 x1x2，则 f(x1x2)的值为()A.3B.2C1 D0答案 C解析 由图象得3T4 23 12，T
15、，2T 2，图象过点23，2，2sin23 2 2sin43 2，得43 32 2k(kZ)，62k(kZ)，f(x)2sin2x62k 2sin2x6，由图象可知，函数 f(x)的一条对称轴为 x 12T46，又 f(x1)f(x2)，由 x1x2623，得 f(x1x2)f3 2sin236 1，故选 C.4.(2019晋城一模)若|sin|cos|2 33，则 sin4cos4()A.56B.1718C.89D.23答案 B解析 将|sin|cos|2 33 两边平方得，1|sin2|43，|sin2|13，sin4cos412sin2cos2112sin221718，故选 B.5.函数
16、 f(x)(1cos2x)cos2x，xR，设 f(x)的最大值是 A，最小正周期为 T，则 f(AT)的值等于()A.14B.12C1 D0答案 B解析 f(x)(1cos2x)cos2x(1cos2x)1cos2x212(1cos22x)1211cos4x214cos4x14.当 cos4x1 时，Af(x)max12，T24 2.f(AT)f4 14cos1412.故选 B.6.(2018全国卷)在ABC 中，cosC2 55，BC1，AC5，则 AB()A.4 2B.30C.29D2 5解析 因为 cosC2cos2C212552135，所以 c2a2b22abcosC12521535
17、 32，所以 c4 2，故选 A.答案 A7.若 tan2tan5，则cos310sin5()A.1 B2 C3 D4答案 C解析 由已知，cos310sin5coscos310sinsin310sincos5cossin5cossin5sincos5sincos5cossin5tan5tantantan53tan5tan53，故选 C.8.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若abcsinAsinBsinC2 33，A3，b1，则ABC 的面积为()A.32B.34C.12D.14答案 B解析 由正弦定理得abcsinAsinBsinC2R2 33，asinA2 33，即
18、 a322 33，a1，A3，b1，ABC 为等边三角形，S12absinC 34.故选 B.9.(2019重庆巴蜀中学期中)已知 f(x)sin(x)其中0，0，2，f(x1)f(x2)0，|x1x2|的最小值为2，f(x)f3x，将 f(x)的图象向左平移6个单位长度得 g(x)，则 g(x)的单调递减区间是()A.k，k2(kZ)B.k6，k23(kZ)C.k3，k56(kZ)D.k 12，k712(kZ)答案 A解析 f(x)sin(x)其中0，0，2，由 f(x1)f(x2)0 可得 x1，x2 是函数的极值点，|x1x2|的最小值为2，12T2，2，f(x)sin(2x)，又 f(
19、x)f3x，f(x)的图象的对称轴为 x6，26k2，kZ，又 0，2，6，f(x)sin2x6.将 f(x)的图象向左平移6个单位长度得g(x)sin2x6 6 cos2x 的图象，令 2k2x2k，kZ，kxk2，kZ，则 g(x)cos2x 的单调递减区间是k，k2(kZ)，故选 A.10.若 sin2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A.74B.94C.54 或74D.54 或94答案 A解析 4，22，2，sin2 55 0，22，cos22 55，且 4，2，又，32，2，54，sin()1010 0，cos()3 1010，且 2，cos()cos2()co
20、s2cos()sin2sin()2 55 3 1010 55 1010 22.22，2，2，74.故选 A.11.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosC2 23，bcosAacosB2，则ABC 的外接圆面积为()A.4 B8 C9 D36答案 C解析 bcosAacosB2，由余弦定理可得，bb2c2a22bcaa2c2b22ac2，整理得 c2，又cosC2 23，sinC 1cos2C13，设ABC 的外接圆的半径为 R，则 2R csinC2136，R3.ABC的外接圆面积 SR29.故选 C.12(2019南关区校级期末)意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰
21、)之一的达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷某数学兼艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 A，C 处作圆弧的切线，两条切线交于 B 点，测得如下数据：AB6.9 cm，BC7.1 cm，AC12.6 cm，根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间()A.6，4B.4，3C.3，512D.512，2答案 B解析 取 ABBC7，设ABC2，则 sin6.37 0.9.又 sin3 32 0.866，sin38 0.924，3，38，223，34.设蒙娜丽莎中女子的
22、嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为，则 2，4，3.故选 B.二、填空题13.(2019陕西四校联考)已知 sin2cos，则 cos2_.解析 由已知得 tan2，cos2cos2sin2cos2sin2sin2cos21tan2tan21144135.答案 3514.(2018全国卷)已知 sincos1，cossin0，则 sin()_.答案 12解析 解法一：因为 sincos1，cossin0，所以(1sin)2(cos)21，所以 sin12，cos12，因此 sin()sincoscossin1212cos2141sin21411412.解法二：由(sincos)2(cossin)21
23、，得 22sin()1，所以 sin()12.15.在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，ABD6.若 AB 3BD，则CAD_.若 AC2AD2，则ABC 的面积为_答案 3 3解析 设 BDm，则 AB 3m，BC2m，根据余弦定理，AD2AB2BD22ABBDcosABDm2，AC2AB2BC22ABBCcosABDm2，ADDCACm，即ACD 是正三角形，CAD3.记ABC 的三内角BAC，ABC，ACB 所对的三条边分别为 a，b，c，则 BD12a，由余弦定理可得，AD2AB2BD22ABBDcosABD，1c212a 2 32 ac，即 44c2a22 3ac，又 AC2A
24、B2BC22ABBCcosABC，4c2a2 3ac，于是，4c2a22 3acc2a2 3ac，a 3c，代入 c2a2 3ac4 可得 c2，a2 3，SABC12acsinABC 3.16.(2019潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为 50 s，升旗手应以_ m/s 的速度匀速升旗答案 0.6解析 依题意可知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530.由正弦定理可知CEsinEACACsinCEA，ACCEsinEACsinCEA20 3 m在 RtABC 中，ABACsinACB20 3 32 30 m国歌时长为 50 s，升旗速度为30500.6 m/s.本课结束