1、历城二中10月份数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知集合，则的子集共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出集合，再求的子集即可知子集个数.【详解】因为或且，所以所以的子集共有个.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义可得，复数在复平面内对应的点在以（2，3）为圆心，1为半径的圆上，根据图像即可得答案.【详解】设复数，则，
2、所以，即，则复数在复平面内对应的点在以（2,3）为圆心，1为半径的圆上， 所以在复平面内对应的点在第一象限. 故选A.【点睛】本题考查复数的几何意义，需熟练掌握复数的加减及求模运算法则，属基础题.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.【详解】解：根据题意得：，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.4. 已知函数对任意，都有，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由赋值法，先求出；，；记，得到数列是以
3、为首项，以为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为函数对任意，都有，且，令，则，所以；令，则，所以，；记，则，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求等比数列的前项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题.5. 设为第二象限角，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将展开可得的值，再由同角三角函数基本关系结合为第二象限角，可的值，即可得答案.【详解】,即可得：，解得：由可得：所以.故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题6. 已知函数，若正实数满
4、足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数，知是奇函数，又因为正实数，满足，所以，利用基本不等式求得结果【详解】解：由函数，设，知，所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，所以，当且仅当，时取到等号故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题7. 已知函数，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】恰有个零点，即函数的 图像与的图像有三个交点，先求出与函数相切时的值，然后数形结合得出答案.【详解】由恰有个零点，即方程恰有个实数根.即函数的 图像与的图像有三个交点，如图.与函数的 图像恒有一个交
5、点，即函数与有两个交点.设与函数相切于点，由所以，得，所以切点为，此时，切线方程为将向下平移可得与恒有两个交点，所以故选：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题.8. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉
6、、丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（ ）A. 猴B. 马C. 羊D. 鸡【答案】B【解析】【分析】根据六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，则2086年与2026年一样，再根据2020年是“干支纪年法”中的庚子年推理结果.【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马则2086年出生的孩子属相为马.故选：B
7、【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.二、多项选择题（每小题5分，共20分）9. 下列命题正确的是（ ）A. 若角（），则B. 任意的向量，若，则C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】对于A选项：当时，当时，代入可判断A；对于B选项：设的夹角为，则，由向量的数量积的定义可判断B；对于C：验证必要性和充分性两个方面，可判断C；对于D选项：取函数，满足，求得函数的对称轴，可判断D.【详解】对于A选项：当时，当时，不满足，故A不正确；对于B选项：设的夹角
8、为，则，所以，所以或，所以，故B正确；对于C：验证必要性：当n=1时，；当n2时，；由于，所以当n2时，是公差为2a等差数列.要使是等差数列，则，解得c= 0.即an 是等差数列的必要条件是：c= 0.验证充分性：当c=0时，.当n=1时，；当n2时，显然当n=1时也满足上式，所以，进而可得，所以等差数列.所以为等差数列的充要条件是成立，故C正确；对于D选项：设函数，满足其定义域为，且对任意，都有，满足，而，则函数的图像关于直线对称，故D不正确，故选：BC.【点睛】本题综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.10. （多选题）函数（，
9、）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数D. ，若恒成立，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图像可得，进而求出，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A；利用图像的平移伸缩变换可判断B；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式，根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C；不等式化为，利用三角函数的性质求出即可判断D.【详解】如图所示：，所以，即，（），（），故A正确；把的图像向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把的横坐标缩短为原来的倍
10、，纵坐标不变，得到的函数，在上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，则， ，的最小值为，故D正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11. 若，为正实数，则的充要条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.【详解】因为，故A选项错误；因为，为正实数，所以，故B选项正确；取，则，即不成立，故C选项错误；因为，当时，所以在上单调递增，即，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的
11、单调性，属于中档题.12. （多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）A. 点是函数的零点B. ，使C. 函数的值域为D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时， ，当时， 当时，单调递减；当时，单调递增； 图像 所以，当时， ，综上可得，选项B正确；对于选项C，
12、选项C正确.对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且，当时，当变化时，变化情况如下：00极大值极小值极大值，极小值，当时，当变化时，的变化情况如下： 12 0 极小值极小值， 图像综上可得，或，的取值范围是，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 在等差数列中，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可得的值.【详解】因为，故，故答案为：8.【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的
13、处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.14. 化简： _.【答案】1【解析】原式)(.故答案为 【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.15. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为_.（用数字作答）【答案】900【解析】【分析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，按照先分组后排
14、列最后得到150种不同分派方式，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村得到6种不同分派方式.最后按照分步乘法计数原理得到答案.【详解】解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同扶贫村，共有种不同情况.所以所有的不同分派方案有种.故答案为：900.【点睛】本题考查排列组合的综合应用、分步乘法计数
15、原理、部分平均分组问题，是中档题.16. 已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围是_；若不等式有解，则的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.【详解】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属
16、中档题.四、解答题（共70分）17. 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）求角B .（2）若 ，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据余弦定理求出角B的余弦值，结合三角形内角和为得到角B的大小(2)由正弦定理的边角比例关系，将转化为关于角A的三角函数求最值【详解】（1）即，又 （2）由可得，(其中)的最大值为【点睛】本题考查了正余弦定理；结合三角形中内角的性质、辅助角公式求角和最值18. 已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；【答案】（1）证明过程见详解；（2）或2.【解析】【分析】（1）根据题意先求出（常
17、数）和，再根据定义判断数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）先由（1）求得，再利用求出，最后根据已知建立不等式组求得或2.【详解】（1）对任意的，则且，所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，解得或2.【点睛】本题考查利用定义证明数列是等比数列、借求，根据椭圆的标准方程建立不等式求参数，是中档题.19. 如图，在直四棱柱中，分别为的中点，（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，利用三角形的中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.
18、（2）在平面中，过点作，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量的数量积，由即可求解.【详解】解：（1）连接，易知侧面为矩形，为的中点，为的中点.为的中点， 平面，平面平面（2）在平面中，过点作，易知平面，故以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则， ，设平面的法向量为，由 即 ， 解得 令 得，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求线面角，考查了考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.20. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户
19、年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使
20、用单车用户80合计16040200使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望参考数据：独立性检验界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分
21、布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望【点睛】本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.21. 已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程.（2）已知点，若椭圆上总存在两
22、个点关于直线对称，且，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据题意建立方程组并求得，再求椭圆的标准方程；（2）先根据题意设直线的方程并联立化简整理得，接着求出，再设并表示出的中点坐标，结合点在直线上，得到代入，求得，接着根据题意表示出和并结合求得，最后求出实数的取值范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得，由，得设，则 又设的中点为，则.由于点在直线上，所以，得代入，得，所以，因为，所以.由，得，即，所以，即，所以，解得 实数的取值范围为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方
23、程、直线与椭圆的位置关系、根据向量的数量积求参数范围，是偏难题.22. 已知函数，.（1）求的极值；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，极小值；当时，无极值；当时，极大值；（2）.【解析】【分析】（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论 的极值.（2）构造函数，通过的导函数研究的零点，对分成进行分类讨论，结合有三个零点，求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值 ，当时，所以无极值，当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.（2）设，即，.若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点.若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.若 ，则 ，当或时， 单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.若，则.当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有 成立，由，得，由 及，得，.并且当时，.综上，使有三个零点的的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
