1、基础诊断考点突破第5讲 椭 圆基础诊断考点突破最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质基础诊断考点突破知 识 梳 理1椭圆的定义我们把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作这两个定点 F1，F2 叫作椭圆的，两个焦点 F1，F2 间的距离叫作集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若，则集合 P 为椭圆；(2)若，则集合 P 为线段；(3)若，则集合 P 为空集椭圆焦点焦距acacac基础诊断考点突破2椭圆
2、的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形基础诊断考点突破范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2 的长为；短轴 B1B2 的长为焦距|F1F2|性质离心率 ecaa，b，c 的关系 c22a2b2c(0,1)a2b2基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的
3、离心率 e 越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同()基础诊断考点突破解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形(2)因为 eca a2b2a1ba2，所以 e 越大，则ba越小，椭圆就越扁答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破2(2015广东卷)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4
4、,0)，则m()A2 B3 C4 D9解析 依题意有 25m216，m0，m3.选 B.答案 B基础诊断考点突破3已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y241解析 由椭圆的定义可知AF1B 的周长为 4a，所以 4a4 3，故 a 3，又由 eca 33，得 c1，所以 b2a2c22，则 C的方程为x23y221，故选 A.答案 A基础诊断考点突破4(2016全国卷)直线 l
5、 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线 l 的方程为xcyb1，即 bxcybc0.由题意知|bc|b2c2142b，解得ca12，即 e12，故选 B.答案 B基础诊断考点突破5(教材改编)已知点 P 是椭圆x25y241 上 y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541，所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0
6、)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入x25y241，得 x 152，又 x0，所以 x 152，P 点坐标为152，1 或152，1.答案 152，1 或152，1基础诊断考点突破考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】(1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且F1PF260，SPF1F23 3
7、，则 b_.基础诊断考点突破解析(1)连接 QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点 A 在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆故选 A.(2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，基础诊断考点突破所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|43b2，所以 SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b2 32 33 b2
8、3 3，所以 b3.答案(1)A(2)3规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义式必须满足 2a|F1F2|.基础诊断考点突破【训练 1】(1)已知椭圆x24y221 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2 的面积是()A.2B2C2 2D.3(2)(2017南昌调研)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_基础诊断考点突破解析(1)由椭圆的方程可知 a2，c 2，且
9、|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2 2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2 为直角三角形，且PF2F 为直角，所以 SPF1F212|F1F2|PF2|122 21 2.基础诊断考点突破(2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即 P 在以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点 P 的轨迹方程为x225y2161.答案(1)A(2)x225y2161基础诊断考点突破考点二 椭圆的标准方程【例
10、 2】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5)，则椭圆方程为_(2)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆标准方程为_解析(1)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn)由322m522n1，3m5n1，基础诊断考点突破解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x261.(2)法一 椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.由 椭 圆 的 定 义 知，2a 302 542 302 542，解得 a2 5.由 c2a2b2 可得 b24.所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.基础诊断考点突破法二 设所求
11、椭圆方程为y225k x29k1(kb0)过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长|AB|3，点 A1，32 必在椭圆上，1a2 94b21.基础诊断考点突破又由 c1，得 1b2a2.由联立，得 b23，a24.故所求椭圆 C 的方程为x24y231.答案(1)A(2)x24y231基础诊断考点突破考点三 椭圆的几何性质【例 3】(1)(2016全国卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与y 轴交于点 E.若直线 BM
12、 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.34基础诊断考点突破(2)(2015福建卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1基础诊断考点突破解析(1)设 M(c，m)，则 E0，amac，OE 的中点为 D，则 D0，am2ac，又 B，D，M 三点共线，所以m2ac mac，所以 a3c，所以 e13.(2)基础诊断考点突破设
13、左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设 M(0，b)，则4b5 45，1bb0)，e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为14，且AFFB(其中 1)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值基础诊断考点突破解(1)由条件可知，c1，a2，故 b2a2c23，椭圆 C 的标准方程是x24y231.(2)由AFFB，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意当 AB
14、所在直线 l 的斜率 k 存在时，设方程为 yk(x1)由ykx1，x24y231消去 y 得基础诊断考点突破(34k2)x28k2x4k2120.由的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x2 8k24k23，x1x2 4k2124k23，x1x2 8k24k2312，k214.将 k214代入方程，得 4x22x110，解得 x13 54.又AF(1x1，y1)，FB(x21，y2)，AFFB，1x1x21，又 1，3 52.基础诊断考点突破思想方法1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是
15、线段或不存在的情况2求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定 a2，b2 的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为 mx2ny21(m0，n0 且 mn)基础诊断考点突破易错防范1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小2在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根3椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1 等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.